Question

[Lê Đình Quân]

Cho a,b,c>0 thỏa mãn \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\). Chứng minh

\(\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ac}+\sqrt{c+ab}\ge\sqrt{abc}+\sqrt{a}+\sqrt{b}\)

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Đề bài nhìn không đúng lắm (thay điểm rơi vào thấy ko thỏa) có lẽ bạn ghi thiếu c cuối cùng, BĐT đúng có vẻ là:

\(\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ac}+\sqrt{c+ab}\ge\sqrt{abc}+\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\)

Mình sẽ chứng minh BĐT bên trên, BĐT tương đương:

\(\sqrt{\frac{1}{bc}+\frac{1}{a}}+\sqrt{\frac{1}{ac}+\frac{1}{b}}+\sqrt{\frac{1}{ab}+\frac{1}{c}}\ge1+\sqrt{\frac{1}{bc}}+\sqrt{\frac{1}{ac}}+\sqrt{\frac{1}{ab}}\)

Đặt \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow x+y+z=1\)

Ta cần chứng minh:

\(\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\ge1+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)

Thật vậy:

\(\sqrt{x+yz}=\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}=\sqrt{\left(x+z\right)\left(x+y\right)}\ge x+\sqrt{yx}\)

Làm tương tự và cộng lại:

\(VT\ge x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}=1+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\) hay \(a=b=c=3\)