Question

[Nick Đặt Cho Vui]

Cho a,b,c thuộc N*

 S= a+b/c + b+c/a + c+a/b

 Chứng minh rằng S lớn hơn hoặc bằng 6. TÌm giá trị nhỏ nhất của S

Answer 1

[Bui Huyen]

\(S=\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\)

\(S=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{b}\)

Áp dụng BĐT cô si ta có:\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)

LÀm tương tự ta có:

\(\hept{\begin{cases}\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\\\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\ge2\\\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\ge2\end{cases}}\Rightarrowđpcm\)

Vậy GTNN của S =6 khi a=b=c