Question

[Chinh Nguyễn]

Cho a,b,c thoả mãn \(\hept{\begin{cases}a^2+b^2+c^2=1\\a^3+b^3+c^3=1\end{cases}}\)

Tính tổng \(a+b^2+c^3\)

Answer 1

[shitbo]

\(a^2+b^2+c^2=1\Rightarrow-1\le a;b;c\le1\text{ ta có:}\)

\(a^2-a^3+b^2-b^3+c^2-c^3=a^2\left(1-a\right)+b^2\left(1-b\right)+c^2\left(1-c\right)\ge0\Rightarrow\text{ 1 số bằng 1; 2 số bằng 1}\)

do đó:a+b²+c³=1

Answer 2

[Nguyễn Linh Chi]

\(\hept{\begin{cases}a^2+b^2+c^2=1\left(1\right)\\a^3+b^3+c^3=1\left(2\right)\end{cases}}\)

Ta có: ( 1) => \(a^2\le1;b^2\le1;c^2\le1\) => \(-1\le a\le1;-1\le b\le1;-1\le c\le1\)

=> \(\left(a-1\right)\le0;\left(b-1\right)\le0;\left(c-1\right)\le0\)

<=> \(a^2\left(a-1\right)\le0;b^2\left(b-1\right)\le0;c^2\left(c-1\right)\le0\)

Lấy (2) - (1) ta có: \(a^3-a^2+b^3-b^2+c^3-c^2=0\)

<=> \(a^2\left(a-1\right)+b^2\left(b-1\right)+c^2\left(c-1\right)=0\)(1)

TH1) Tồn tại ít nhất 1 số trong 3 số: \(a^2\left(a-1\right);b^2\left(b-1\right);c^2\left(c-1\right)< 0\)

=> vô lí 

Th2) Cả 3 số bằng 0 

(1) <=> \(a^2\left(a-1\right)=b^2\left(b-1\right)=c^2\left(c-1\right)=0\)

Mặt khác \(a^2+b^2+c^2=1\)

Do đó chỉ có các nghiệm: ( 1; 0; 0) hoặc (0; 0; 1) hoặc ( 0; 1; 0 ) thỏa mãn

Vậy tổng a + b^2 + b^3 = 1