Question

[Trương Tuấn Dũng]

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của \(\Delta\). Chứng minh rằng

\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

Answer 1

[Hoàng Phúc]

(*)Ta cần CM bất đẳng thức phụ: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)

Thật vậy: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}< =>\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}< =>\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

\(< =>x^2+2xy+y^2-4xy\ge0< =>x^2-2xy+y^2\ge0< =>\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra <=> x=y

Do a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác nên hiển nhiên a > 0; b > 0;c > 0;a+b > 0;b+c-a > 0;c+a-b > 0

Áp dụng bất đẳng thức phụ ta có:

\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\)

\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{4}{2a}=\frac{2}{a}\)

\(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{4}{2c}=\frac{2}{c}\)

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên,ta có:

\(2\left(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\right)\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

\(=>\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\left(đpcm\right)\)

Answer 2

[Hoàng Phúc]

bn sử dòng thứ 5 1 tí cho mk: a+b-c > 0 nhé!