PQ
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
LV
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
17 tháng 7 2021
Bạn vui lòng chỉ post 1 bài 1 lần thôi. Đăng nhiều làm loãng box toán đó bạn.
AH
Akai Haruma
Giáo viên
17 tháng 7 2021
Lời giải:
Gọi biểu thức đã cho là $A$.
CM vế 1:
Ta có:
$\frac{a+b}{a+b+c}> \frac{a+b}{a+b+c+d}$
$\frac{b+c}{b+c+d}> \frac{b+c}{a+b+c+d}$
$\frac{c+d}{c+d+a}> \frac{c+d}{a+b+c+d}$
$\frac{d+a}{d+a+b}> \frac{d+a}{a+b+c+d}$
Cộng lại: $A> \frac{2(a+b+c+d)}{a+b+c+d}=2>1$
CM vế 2:
Ta thấy $\frac{a+b}{a+b+c}-\frac{a+b+d}{a+b+c+d}=\frac{-cd}{(a+b+c)(a+b+c+d)}< 0$ với $a,b,c,d>0$
$\Rightarrow \frac{a+b}{a+b+c}< \frac{a+b+d}{a+b+c+d}$
Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại:
$\Rightarrow A< \frac{3(a+b+c+d)}{a+b+c+d}=3$
Ta có đpcm.
MN
1
17 tháng 2 2019
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwartz, ta có: \(\frac{1}{2a+b}+\frac{1}{2b+c}+\frac{1}{2c+a}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{2a+b+2b+c+2c+a}=\frac{9}{3\left(a+b+c\right)}=\frac{3}{a+b+c}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(\frac{1}{2a+b}=\frac{1}{2b+c}=\frac{1}{2c+a}\Leftrightarrow2a+b=2b+c=2c+a\)
TL
1
27 tháng 7 2018
Áp dụng bđt Svacxơ ta có : VT >= (a+b+c)^2/(2a+2b+2c) = (a+b+c)/2 = VP
=> đpcm
12 tháng 3 2022
Câu hỏi của Adminbird - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath
27 tháng 7 2018
Áp dụng BDT Bunhiacopxki:
\(\left[\left(\sqrt{x+y}\right)^2+\left(\sqrt{y+z}\right)^2+\left(\sqrt{x+z}\right)^2\right]\left[\frac{x^2}{\left(\sqrt{x+y}\right)^2}+\frac{y^2}{\left(\sqrt{y+z}\right)^2}+\frac{z^2}{\left(\sqrt{x+z}\right)^2}\right]\)\(\ge\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2\left(x+y+z\right)\left(\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{x+z}\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{x+z}\ge\frac{x+y+z}{2}\)
LQ
0
TV
3
TL
27 tháng 7 2018
áp dụng bdt svacxơ => VT >=(a+b+c)^2/(2a+2b+2c) = (a+b+c)/2 = VP (dpcm)
T
28 tháng 5 2019
Xét hiểu hai vế: \(BĐT\Leftrightarrow\left(\frac{a^2}{b+c}-\frac{a}{2}\right)+\left(\frac{b^2}{c+a}-\frac{b}{2}\right)+\left(\frac{c^2}{a+b}-\frac{c}{2}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a^2-ab\right)+\left(a^2-ac\right)}{2\left(b+c\right)}+\frac{\left(b^2-bc\right)+\left(b^2-ab\right)}{2\left(c+a\right)}+\frac{\left(c^2-ca\right)+\left(c^2-bc\right)}{2\left(a+b\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a\left(a-b\right)+a\left(a-c\right)}{2\left(b+c\right)}+\frac{b\left(b-c\right)+b\left(b-a\right)}{2\left(c+a\right)}+\frac{c\left(c-a\right)+c\left(c-b\right)}{2\left(a+b\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\left(\frac{a\left(a-b\right)}{2\left(b+c\right)}-\frac{b\left(a-b\right)}{2\left(c+a\right)}\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{\left(a-b\right)}{2}\left(\frac{a}{b+c}-\frac{b}{c+a}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{\left(a-b\right)}{2}\left(\frac{a^2+ac-b^2-bc}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{\left(a-b\right)}{2}\left(\frac{\left(a-b\right)\left(a+b\right)+c\left(a-b\right)}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\right)\)
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{\left(a+b+c\right)\left(a-b\right)^2}{2\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge0\) (BĐT đúng)
\(\Rightarrow Q.E.D\)
Xảy ra đẳng thức khi a = b =c
Ta cần chứng minh:\(\frac{a}{a+b+c}< \frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\)
+) Do a,b,c dương nên hiển nhiên \(a+b+c>a+b\Rightarrow\frac{a}{a+b+c}< \frac{a}{a+b}\)
+)Chứng minh: \(\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\Leftrightarrow\frac{x}{y}< \frac{x+c}{y+c}\)(x;y;c>0 và x < y) (đặt \(a=x;a+b=y\) cho dễ nhìn thôi chứ không có ý gì cả)
\(\Leftrightarrow x\left(y+c\right)< \left(x+c\right)y\Leftrightarrow xc< yc\Leftrightarrow x< y\) (đúng theo giả thiết đề bài)
Chứng minh tương tự với mỗi phân thức kia và cộng theo vế ta có đpcm.