Question

[Nguyễn Quốc Khánh]

Cho a,b,c là 3 số thực dương TM a+b+c=1

CMR

\(\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}+\sqrt{c+ab}\ge1+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}+\sqrt{ab}\)

Answer 1

[Tạ Duy Phương]

\(\sqrt{a+bc}=\sqrt{a\left(a+b+c\right)+bc}=\sqrt{a^2+a\left(b+c\right)+bc}\ge\sqrt{a^2+2a\sqrt{bc}+bc}=a+\sqrt{bc}\)

Tương tự: \(\sqrt{b+ac}\ge b+\sqrt{ca};\sqrt{c+ab}\ge c+\sqrt{ab}\)

\(\Rightarrow\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}+\sqrt{c+ab}\ge1+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)

Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)