K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

14 tháng 3 2016

Sử dụng bất đẳng thức  \(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)  với ba số  \(a,b,c\)  và ba số  dương \(x,y,z\)  bất kỳ với chú ý rằng  \(a^2b^2c^2=1\), ta có:

 \(\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\frac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}=\frac{b^2c^2}{a\left(b+c\right)}+\frac{c^2a^2}{b\left(c+a\right)}+\frac{a^2b^2}{c\left(a+b\right)}\ge\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{ab+bc+ca}{2}\)  \(\left(1\right)\)

Đặt  \(x=ab;\)  \(y=bc;\)  và  \(z=ca\)  thì  \(xyz=1\)  \(\left(2\right)\) với  \(x;\)\(y;\) và  \(z\)  \(>0\)  

Khi đó áp dụng BĐT Cauchy cho bộ ba số nguyên dương \(x;\)\(y;\) và  \(z\), ta được:

\(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\)  \(\Leftrightarrow\)  \(x+y+z\ge3\)  (do  \(\left(2\right)\)), tức  \(ab+bc+ca\ge3\)  \(\left(3\right)\)

Từ  \(\left(1\right);\)  \(\left(3\right)\) ta suy ra   \(\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\frac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}\ge\frac{3}{2}\)  \(\left(đpcm\right)\)

Dấu  \("="\)  xảy ra  khi và chỉ khi  \(a=b=c=1\)

14 tháng 3 2016

thông điệp nhỏ :

hãy tích nếu như ko muốn tích 

ai tích mình tích lại nh nha