Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt : \(x=\frac{1}{a};y=\frac{2}{b};z=\frac{3}{c}\)
Khi đó điều kiện bài toán thành : \(2xyz\ge2x+4y+7z\)
và \(E=x+y+z\)
\(\Rightarrow z\left(2xy-7\right)\ge2x+4y\)
\(\Leftrightarrow2xy>7\)và \(z\ge\frac{2x+4y}{2xy-7}\)
Ta có : \(\left(x+y+z\right)\ge x+y+\frac{2x+4y}{2xy-7}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\ge x+\frac{11}{2x}+y-\frac{7}{2x}+\frac{2x+\frac{14}{x}}{2xy-7}\)
mà \(2\sqrt{1+\frac{7}{x^2}}\ge\frac{3+\frac{7}{x}}{2}\)
\(\Rightarrow x+y+z\ge\frac{3}{2}+x+\frac{9}{2}\ge\frac{15}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=\frac{1}{3};b=\frac{4}{5};c=\frac{3}{2}\left(x=3;y=\frac{5}{2};z=2\right)\)
_Hắc phong_
Đặt \(x=\frac{1}{a};y=\frac{2}{b};z=\frac{3}{c}\)
Khi đó ta được điều kiện : \(2xyz\ge2x+4y+7z\)
Áp dụng bất ẳng thức AM-GM ta thấy rằng :
\(x+y+z=\frac{1}{15}.\left(\frac{5}{2}x+\frac{5}{2}x+....+\frac{5}{2}x+3y+3y+.....+3y+\frac{15}{4}z+\frac{15}{4}z+...+\frac{15}{4}z\right)\)
(6 số \(\frac{5}{2}x\)) (5 số\(3y\)) (4 số\(\frac{15}{4}z\))
\(\ge\left(\frac{5x}{2}\right)^{\frac{2}{5}}\left(3y\right)^{\frac{1}{3}}\left(\frac{15z}{4}\right)^{\frac{4}{15}}\)
Và cũng có :
\(2x+4x+7z=\frac{1}{15}\left(10x+...+10x+12y+...+12y+15z+..+15z\right)\)
(3 số\(10x\)) (5 số\(12y\)) (7 số\(15z\))
\(\ge10^{\frac{1}{5}}.12^{\frac{1}{3}}.15^{\frac{7}{15}}.x^{\frac{1}{5}}.y^{\frac{1}{3}}.z^{\frac{7}{15}}\)
Điều này có nghĩa là :
\(\left(x+y+z\right)^2\left(2x+4y+7z\right)\ge\frac{225}{2}xyz\)
Vì \(2xyz\ge2x+4y+7z\)nên ta có :
\(\left(x+y+z\right)^2\ge\frac{225}{4}\Rightarrow x+y+z\ge\frac{15}{2}\)
Dấu"="xảy ra kh\(x=2;y=\frac{5}{2};=2\)
Từ đó suy ra
\(a=\frac{1}{3};b=\frac{4}{5};c=\frac{3}{2}\)
P/s : \(min_E=\frac{15}{2}\)
_Minh ngụy_
Áp dụng BĐT Svac - xơ:
\(T=\frac{a}{a^2+8bc}+\frac{b}{b^2+8ca}+\frac{c}{c^2+8ab}\)
\(=\frac{a^2}{a^3+8abc}+\frac{b^2}{b^3+8abc}+\frac{c^2}{c^3+8abc}\)\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^3+b^3+c^3+24abc}\)
Ta lại có: \(\left(a+b+c\right)^3=a^3+b^3+c^3+\)\(3\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-3abc\)
\(\ge a^3+b^3+c^3+27\sqrt[3]{abc}.\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}-3abc=\)\(a^3+b^3+c^3+24abc\)
Lúc đó: \(T\ge\frac{1}{a+b+c}=1\)
(Dấu "="\(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\))
a) ta có \(S=a+\frac{1}{4a}+b+\frac{1}{4b}+c+\frac{1}{4c}+\frac{3}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức cô si ta có \(a+\frac{1}{4a}\ge2\sqrt{\frac{a.1}{4a}}=2.\frac{1}{2}=1\)
tương tự ta có \(b+\frac{1}{4b}\ge1;c+\frac{1}{4c}\ge1\)
=> \(a+\frac{1}{4a}+b+\frac{1}{4b}+c+\frac{1}{4c}\ge3\)
mặt khác Áp dụng bất đẳng thức svác sơ ta có \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\ge\frac{9}{\frac{3}{2}}=6\) (vì a+b+c<=3/2)
cộng từng vế ta có \(S\ge9\)
dấu = xảy ra <=> a=b=c=1/2
câu 2 tương tự
chết quên khi mà cậu dùng svác sơ xong thì cậu phải nhân thêm 3/4 nữa rồi mới cộng vào để tính Smin
Do a, b, c dương áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
\(\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{a^2c^2}{b^2}\ge2\sqrt{\frac{b^2c^2}{a^2}.\frac{a^2c^2}{b^2}}=2c^2\)(1)
Tương tự \(\frac{a^2c^2}{b^2}+\frac{a^2b^2}{c^2}\ge2a^2\) (2) và \(\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{a^2b^2}{c^2}\ge2b^2\) (3)
Cộng (1), (2), (3) vế theo vế rồi chia 2 vế cho 2 ta được \(\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{a^2c^2}{b^2}+\frac{a^2b^2}{c^2}\ge a^2+b^2+c^2=1\)
Ta có \(P^2=\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{a^2c^2}{b^2}+\frac{a^2b^2}{c^2}+2\left(\frac{bc}{a}.\frac{ac}{b}+\frac{ac}{b}.\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}.\frac{ab}{c}\right)\)
\(P^2=\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{a^2c^2}{b^2}+\frac{a^2b^2}{c^2}+2\left(a^2+b^2+c^2\right)=\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{a^2c^2}{b^2}+\frac{a^2b^2}{c^2}+2\ge1+2=3\)
Vậy \(P_{min}=\sqrt{3}\) \(\Leftrightarrow\) \(a=b=c=\frac{\sqrt{3}}{3}\)