Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz ta có
\(VT\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}=VP\)
BĐT được chứng minh
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c
Cách 2
Áp dụng bđt AM-GM ta có
\(\frac{a^2}{b+c}+4\left(b+c\right)\ge2\sqrt{4a^2}=4a\)
Tương tự \(\frac{b^2}{c+a}+4\left(c+a\right)\ge4b\)
\(\frac{c^2}{a+b}+4\left(a+b\right)\ge4c\)
Cộng từng vế ta được đpcm
Ta có: \(\frac{a^3}{a^2+b^2}=\frac{\left(a^3+ab^2\right)-ab^2}{a^2+b^2}=a-\frac{ab^2}{a^2+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2ab}=a-\frac{b}{2}\)
Tương tự CM được:
\(\frac{b^3}{b^2+c^2}\ge b-\frac{c}{2}\) và \(\frac{c^3}{c^2+a^2}\ge c-\frac{a}{2}\)
Cộng vế 3 BĐT trên lại ta được:
\(\frac{a^3}{b^2+c^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}\ge\frac{a+b+c}{2}=3\)
Dấu "=" xảy ra khi: a = b = c = 2
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(VT\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(a=b=c\)
Cách 2
Áp dụng bđt AM-GM ta có
\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^2\left(b+c\right)}{4\left(b+c\right)}}=a\)
Tương tự \(\frac{b^2}{a+c}+\frac{a+c}{4}\ge b\),\(\frac{c^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}\ge c\)
Cộng từng vế các bđt trên => đpcm
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c
AD svac-sơ có:
\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{b+c+a+c+a+b}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}\)
<=> a=b=c
3 số thực dương nhé.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz dạng Engel có :
\(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ca}+\frac{1}{c^2+2ab}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{\left(a^2+2bc\right)+\left(b^2+2ca\right)+\left(c^2+2ab\right)}=\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\ge\frac{9}{1^2}=9\)
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2+2bc}=\frac{1}{b^2+2ca}=\frac{1}{c^2+2ab}\)và \(a+b+c=1\)
\(\Leftrightarrow a^2+2bc=b^2+2ca=c^2+2ab\)
Mong có ai giúp mình từ đẳng thức trên giải ra a=b=c.
Ta có \(\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}=\frac{a^2}{2bc}+\frac{b^2}{2ac}+\frac{c^2}{2bc}\)
Áp dụng BĐT cosi schwarz:
\(VT\ge\frac{\left(3a+3b+3c\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+4\left(ab+bc+ac\right)}=\frac{9}{2}\)(ĐPCM)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c
Đặt \(A=\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}\left(a,b,c>0\right)\).
Ta có:
\(\frac{a^3}{a^2+b^2}=\frac{a\left(a^2+b^2-b^2\right)}{a^2+b^2}=\frac{a\left(a^2+b^2\right)-ab^2}{a^2+b^2}=a-\frac{ab^2}{a^2+b^2}\).
Vì \(a,b>0\)nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương, ta được:
\(a^2+b^2\ge2ab\).
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2+b^2}\le\frac{1}{2ab}\).
\(\Leftrightarrow\frac{ab^2}{a^2+b^2}\le\frac{ab^2}{2ab}=\frac{b}{2}\).
\(\Rightarrow\frac{-ab^2}{a^2+b^2}\ge\frac{-b}{2}\).
\(\Leftrightarrow a-\frac{ab^2}{a^2+b^2}\ge a-\frac{b}{2}\).
\(\Leftrightarrow\frac{a^3}{a^2+b^2}\ge a-\frac{b}{2}\left(1\right)\).
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=b>0\).
Chứng minh tương tự, ta được:
\(\frac{b^3}{b^2+c^2}\ge b-\frac{c}{2}\).với \(b,c>0\)\(\left(2\right)\)
Dấu bẳng xảy ra \(\Leftrightarrow b=c>0\).
Chứng minh tương tự, ta được:
\(\frac{c^3}{c^2+a^2}\ge c-\frac{a}{2}\)với \(a,c>0\)\(\left(3\right)\).
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=c>0\).
Từ \(\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\), ta được:
\(\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}\)\(\ge\)\(a+b+c-\frac{a}{2}-\frac{b}{2}-\frac{c}{2}\).
\(\Leftrightarrow A\ge\frac{a+b+c}{2}\).
\(\Leftrightarrow A\ge\frac{6}{2}\)(vì \(a+b+c=6\)).
\(\Leftrightarrow A\ge3\)(điều phải chứng minh).
Dấu bằng xảy ra.
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b=c>0\\a+b+c=6\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c=2\).
Vậy nếu \(a,b,c\)là các số thực dương thỏa mãn \(a+b+c=6\)thì:
\(\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}\ge3\).
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
\(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\dfrac{a+b+c}{2}\left(đpcm\right)\)