Câu hỏi của Moon Jim Kim

Question

Cho a,b,c > 1. Chứng minh

a2 / b-1 + b2 / c-1 + c2 / a-1 >= 12

Mashiro Shiina · Accepted Answer

$\dfrac{a^2}{b-1}+\dfrac{b^2}{c-1}+\dfrac{c^2}{a-1}\ge12$

$\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{b-1}-4+\dfrac{b^2}{c-1}-4+\dfrac{c^2}{a-1}-4\ge0$

$\Leftrightarrow\dfrac{a^2-4b+4}{b-1}+\dfrac{b^2-4c+4}{c-1}+\dfrac{c^2-4a+4}{a-1}\ge0$

$a;b;c>1\Leftrightarrow a-1;b-1;c-1>0$

$\Leftrightarrow a^2-4b+4+b^2-4c+4+c^2-4a+4\ge0$

$\Leftrightarrow\left(a-2\right)^2+\left(b-2\right)^2+\left(c-2\right)^2\ge0$ (Đúng)

$"="\Leftrightarrow a=b=c=2$Câu trả lời: $\dfrac{a^2}{b-1}+\dfrac{b^2}{c-1}+\dfrac{c^2}{a-1}\ge12$

$\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{b-1}-4+\dfrac{b^2}{c-1}-4+\dfrac{c^2}{a-1}-4\ge0$

$\Leftrightarrow\dfrac{a^2-4b+4}{b-1}+\dfrac{b^2-4c+4}{c-1}+\dfrac{c^2-4a+4}{a-1}\ge0$

$a;b;c>1\Leftrightarrow a-1;b-1;c-1>0$

$\Leftrightarrow a^2-4b+4+b^2-4c+4+c^2-4a+4\ge0$

$\Leftrightarrow\left(a-2\right)^2+\left(b-2\right)^2+\left(c-2\right)^2\ge0$ (Đúng)

$"="\Leftrightarrow a=b=c=2$