Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có :
\(\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=\sqrt{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2-\frac{2}{ab}-\frac{2}{bc}-\frac{2}{ca}}\)
\(=\sqrt{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2-2\left(\frac{a+b+c}{abc}\right)}\)
\(=\sqrt{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}=\left[\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right]\left(ĐPCM\right)\)
[ ] là giá trị tuyệt đối đấy.
ủng hộ nhé bạn!
làm xong rồi thì please_sign
áp dụng bđt huyền thoại \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\) =\(\frac{a+b+c}{abc}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{abc\left(a+b+c\right)}\)
mà \(\left(ab+bc+ac\right)^2\ge3abc\left(a+b+c\right)\) (tụ cm nhé )
\(\Rightarrow\ge\frac{\left(a+b+c^2\right)}{\frac{\left(ab+bc+ac\right)^2}{3}}=\frac{3\left(a+b+c\right)^2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\left(ab+bc+ac\right)^2\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)
m,à \(\left(ab+bc+ac\right)^2\left(a^2+b^2+c^2\right)\le\frac{\left(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac+ab+bc+ac\right)^3}{3^3}\)
=\(\frac{\left(\left(a+b+c\right)^2\right)^3}{27}=27\)
\(\Rightarrow vt\ge\frac{27\left(a^2+b^2+c^2\right)}{27}=a^2+b^2+c^2\)
dau = khi a=b=c=1
Ta chứng minh:
\(\frac{1}{1-3a}\ge256a^3\)
\(\Leftrightarrow\left(4x-1\right)^2\left(48x^2+8x+1\right)\ge0\)đúng
\(\Rightarrow VT\ge256a^3+256b^3+256c^3=\frac{256.3}{64}=12\)
BĐT cần chứng minh tương đương:
\(\Leftrightarrow\frac{2}{2+a}+\frac{2}{2+b}+\frac{2}{2+c}\le2\)
\(\Leftrightarrow\frac{2}{2+a}-1+\frac{2}{2+b}-1+\frac{2}{2+c}-1\le2-3\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{a+2}+\frac{b}{b+2}+\frac{c}{c+2}\ge1\) (1)
Ta cần chứng minh (1)
Do \(abc=1\) nên tồn tại x;y;z sao cho: \(\left(a;b;c\right)=\left(\frac{x}{y};\frac{y}{z};\frac{z}{x}\right)\)
\(VT=\frac{x}{x+2y}+\frac{y}{y+2z}+\frac{z}{z+2x}=\frac{x^2}{x^2+2xy}+\frac{y^2}{y^2+2yz}+\frac{z^2}{z^2+2xz}\)
\(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=1\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Giải thích giùm em từ dòng 4 xuống dòng 7 anh biến đổi vế trái như thế nào vậy ạ ?
\(VT=\frac{\left(\sqrt[3]{abc}\right)^2}{2abc}+\Sigma\frac{a^2}{a^2\left(b+c\right)}\ge\frac{\left(a+b+c+\sqrt[3]{abc}\right)^2}{\Sigma a^2\left(b+c\right)+2abc}=\frac{\left(a+b+c+\sqrt[3]{abc}\right)^2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
Đặt \(\left(a^2;b^2;c^2\right)=\left(x^3;y^3;z^3\right)\) \(\Rightarrow xyz=1\)
Ta có BĐT quen thuộc: \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\)
\(\Rightarrow P=\sum\frac{xyz}{x^3+y^3+xyz}\le\sum\frac{xyz}{xy\left(x+y\right)+xyz}=\sum\frac{z}{x+y+z}=1\)
\("="\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Ai có cách nào khác với anh Nguyễn Việt Lâm không mọi người ?
mình ghi nhầm cái số 1 nhỏ nha
mn nếu giải thì bỏ cái số đó đi
+ ta có a,b,c thuộc [0,1]
=> b^2 <= b và c^3 <= c
=> a + b^2 + c^3 - ab - bc - ca <= a + b + c - (ab + bc + ca)
+ mặt # a , b , c thuộc [0,1]
=> (1 - a)(1 - b)(1 - c) >=0
<> 1- a - b - c + ab + bc + ca - abc >=0
<> a + b + c - (ab + bc + ca) <= 1 - abc
=> a + b + c - (ab + bc + ca) <=1 (abc >= 0)
\(\text{Đặt }a=x^3;b=y^3;c=z^3\)
\(\Rightarrow abc=\left(xyz\right)^3=1\Rightarrow xyz=1\)
Đề trở thành :Cho x;y;z > 0 ; xyz = 1 ; Chứng minh \(\frac{1}{1+x^3+y^3}+\frac{1}{1+y^3+z^3}+\frac{1}{1+x^3+z^3}\le1\)
Áp dụng AM - GM ta có :
\(x^2y+xy^2\le\frac{x^3+x^3+y^3}{3}+\frac{x^3+y^3+y^3}{3}=\frac{3\left(x^3+y^3\right)}{3}=x^3+y^3\)
\(\Rightarrow\frac{1}{1+x^3+y^3}\le\frac{1}{1+x^2y+xy^2}=\frac{1}{xyz+x^2y+xy^2}=\frac{1}{xy\left(x+y+z\right)}\text{ }\left(1\right)\)
Cm tươnng tự \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{1+y^3+z^3}\le\frac{1}{yz\left(x+y+z\right)}\text{ }\left(2\right)\\\frac{1}{1+x^3+z^3}\le\frac{1}{xz\left(x+y+z\right)}\text{ }\left(3\right)\end{cases}}\)
Cộng vế với vế của (1);(2);(3) ta có :
\(\frac{1}{1+x^3+y^3}+\frac{1}{1+y^3+z^3}+\frac{1}{1+x^3+z^3}\le\frac{x+y+z}{xyz\left(x+y+z\right)}=1\)
Hay \(\frac{1}{1+a+b}+\frac{1}{1+b+c}+\frac{1}{1+a+c}\le1\)(đpcm)