Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) a2+b2-2ab=(a-b)2>=0
b) \(\frac{a^2+b^2}{2}\)\(\ge\)ab <=> \(\frac{a^2+b^2}{2}\)-ab\(\ge\)0 <=> \(\frac{\left(a-b\right)^2}{2}\)\(\ge\)0 (ĐPCM)
c) a2+2a < (a+1)2=a2+2a+1 (ĐPCM)
\(\dfrac{x^2+y^2}{a^2+b^2}=\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2+y^2}{a^2+b^2}=\dfrac{x^2b^2+a^2y^2}{a^2b^2}\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2\right)a^2b^2=\left(a^2+b^2\right)\left(x^2b^2+a^2y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2x^2+a^2b^2y^2=a^2x^2b^2+a^4y^2+b^4x^2+a^2y^2b^2\)
\(\Leftrightarrow0=a^4y^2+b^4x^2\)
Có \(\left\{{}\begin{matrix}a^4y^2\ge0\\b^4x^2\ge0\end{matrix}\right.\) =>\(a^4y^2+b^4x^2\ge0\)
[=] xảy ra <=> \(\left\{{}\begin{matrix}a^4y^2=0\\b^4x^2=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=0\end{matrix}\right.\) (vì a;b khác 0)
Vậy y=x=0 (đpcm)
\(\frac{a^3+b^3}{2}\ge\left(\frac{a+b}{2}\right)^3\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{2}\ge\frac{\left(a+b\right)^3}{8}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2-ab+b^2}{2}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{8}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2-ab+b^2}{2}\ge\frac{a^2+2ab+b^2}{8}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2-ab+b^2}{2}-\frac{a^2+2ab+b^2}{8}\ge\)
\(\Leftrightarrow\frac{4a^2-4ab+4b^2-a^2-2ab-b^2}{8}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{3a^2-6ab+3b^2}{8}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{3\left(a-b\right)^2}{8}\ge0\) (luôn đúng)
Vậy \(\frac{a^3+b^3}{2}\ge\left(\frac{a+b}{2}\right)^3\)
\(\frac{a}{b^2}+\frac{1}{a}\ge\frac{2}{b}\) BĐT Cô-si
Tương tự suy ra đpcm
Áp dụng bđt Cauchy Schwarz dạng Engel ta có:
\(\frac{a^2+b^2+c^2}{3}=\)(\(\frac{a^2}{1}+\frac{b^2}{1}+\frac{c^2}{1}\)).\(\frac{1}{3}\ge\)\(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{1+1+1}.\frac{1}{3}=\)\(\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2\)(đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c
\(\frac{a^2}{b+c}\)+\(\frac{b+c}{4}\)=\(\frac{\left(2a\right)^2+\left(b+c\right)^2}{4\left(b+c\right)}\)>=\(\frac{4a\left(b+c\right)}{4\left(b+c\right)}\)=a (b,c>0)
chứng minh tương tự ta có:\(\frac{b^2}{a+c}\)+\(\frac{c+a}{4}\)>=b
tương tự:\(\frac{c^2}{a+b}\)+\(\frac{a+b}{4}\)>=c
Cộng từng vế bất đẳng thức trên là được nha.Có gì ko hiểu thì hỏi mình
Đặt b+c=x , c+a=y , a+b=z => a+b+c=(x+y+z)/2
=> a=(y+z-x)/2 và b=(x+z-y)/2 và c=(x+y-z)/2
VT = a/(a+b) +b/(b+c) +c/(c+a)
=(y+z-x)/(2x) + (x+z-y)\(2y) + (x+y-z)/(2z)
=(y/x + z/x -1+ x/y + z/y -1+ x/z + y/z -1 )/2
=( y/x+ z/x + x/y + z/y + x/z + y/z -3 )/2
Áp dụng Bđt cô si (3 lần cho 3 cặp nghich đảo)
( y/x + x/y ) + (z/y + y/z) + (x/z+ z/x) >= 2x3 =6 <=>
( y/x + x/y ) + (z/y + y/z) + (x/z+ z/x) -3 >= 3<=>
[( y/x + x/y ) + (z/y + y/z) + (x/z+ z/x) -3]/2 >= 3/2<=>
VT >= 3/2
Dấu = xảy ra khi: x=y=z <=> a=b=c
Ta Đặt
\(b+c=x;c+a=y;a+b=z\)
\(\Rightarrow a=\frac{y+z-x}{2};b=\frac{x+z-y}{2};c=\frac{x+y-z}{2}\)
Khi đó VT trở thành:
\(\frac{y+z-x}{2x}+\frac{x+z-y}{2y}+\frac{x+y-z}{2z}\)
\(=\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}-3\right)\)
Áp dụng BĐT cô-si, ta được;
VT\(\ge\frac{1}{2}\left(6-3\right)=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c