HX
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
MN
0
RH
15 tháng 1 2022
Áp dụng BĐT Bunyakovsky, ta có:
\(a+b+c\le\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}=\sqrt{3.3}=3\)
Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:
\(A=\sum{\dfrac{1}{\sqrt{1+8a^3}}}=\sum{\dfrac{1}{\sqrt{(2a+1)(4a^2-2a+1)}}} \\\ge\sum{\dfrac{1}{\dfrac{4a^2+2}{2}}}=\sum{\dfrac{1}{2a^2+1}} \)
Ta cần chứng minh: \(\dfrac{1}{2a^2+1}\ge\dfrac{-4}{9}a+\dfrac{7}{9} \\<=>\dfrac{8a^3-14a^2+4a+2}{9(2a^2+1)}\ge0 \\<=>\dfrac{2(a-1)^2(4a+1)}{9(2a^2+1)}\ge0 (luôn\ đúng\ với\ mọi\ a>0) \\->\sum{\dfrac{1}{2a^2+1}}\ge\dfrac{-4}{9}(a+b+c)+\dfrac{21}{9}\ge\dfrac{-4}{9}.3+\dfrac{21}{9}=1 \\->A\ge1 \)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.
Vậy GTNN của A là 1 (khi a = b = c = 1).
VG
0
A
Cho 2 số thực dương a,b thỏa mãn \(a+b\le1\) . Tìm GTNN của
\(A=\dfrac{1}{1+a^2+b^2}+\dfrac{1}{2ab}\)
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
16 tháng 5 2021
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$1\geq a+b\geq 2\sqrt{ab}\Rightarrow ab\leq \frac{1}{4}$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(A=\frac{1}{1+a^2+b^2}+\frac{1}{6ab}+\frac{1}{3ab}\geq \frac{4}{1+a^2+b^2+6ab}+\frac{1}{3ab}\)
\(=\frac{4}{1+(a+b)^2+4ab}+\frac{1}{3ab}\geq \frac{4}{1+1+4.\frac{1}{4}}+\frac{1}{3.\frac{1}{4}}=\frac{8}{3}\)
Vậy $A_{\min}=\frac{8}{3}$ khi $a=b=\frac{1}{2}$
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 12 2020
Đây là bài IMO 2001 và không cần điều kiện \(a+b+c=1\)
Áp dụng Holder:
\(P.P.\left[a\left(a^2+8bc\right)+b\left(b^2+8ac\right)+c\left(c^2+8ab\right)\right]\ge\left(a+b+c\right)^3\)
\(\Leftrightarrow P^2\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^3}{a^3+b^3+c^3+24abc}=\dfrac{a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{a^3+b^3+c^3+24abc}\)
\(\Rightarrow P^2\ge\dfrac{a^3+b^3+c^3+3.2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}}{a^3+b^3+c^3+24abc}=1\)
\(\Rightarrow P\ge1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
10 tháng 1 2021
\(a^2-ab+b^2=\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2+\dfrac{3}{4}\left(a-b\right)^2\ge\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow P\le\dfrac{2}{a+b}+\dfrac{2}{b+c}+\dfrac{2}{c+a}\le\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
20 tháng 12 2020
Chắc là bạn ghi nhầm mẫu số cuối cùng
\(\dfrac{1+b}{1+4a^2}=1+b-\dfrac{4a^2\left(1+b\right)}{1+4a^2}\ge1+b-\dfrac{4a^2\left(1+b\right)}{4a}=1+b-a\left(1+b\right)\)
Tương tự: \(\dfrac{1+c}{1+4b^2}\ge1+c-b\left(1+c\right)\) ; \(\dfrac{1+a}{1+4c^2}\ge1+a-c\left(1+a\right)\)
Cộng vế với vế:
\(P\ge3+a+b+c-\left(a+b+c\right)-\left(ab+bc+ca\right)\)
\(P\ge3-\left(ab+bc+ca\right)\ge3-\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2=\dfrac{9}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{2}\)
Bạn tham khảo bài làm nhé