LN
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
AS
3
LA
17 tháng 3 2019
\(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\ge a\left(b+c+d+e\right)\)
\(\Leftrightarrow4a^2+4b^2+4c^2+4d^2+4e^2-4ab-4ac-4ad-4ae\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-4ab+4b^2\right)+\left(a^2-4ac+4c^2\right)+\left(a^2-4ad+4d^2\right)+\left(a^2-4ae-4e^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-2b\right)^2+\left(a-2c\right)^2+\left(a-2d\right)^2+\left(a-2e\right)^2\ge0\)
BĐT trên đúng, mà các phép biến đổi là tương đương
\(\RightarrowĐPCM\)
Dấu "=" xảy ra khi a = 2b = 2c = 2d = 2e
17 tháng 3 2019
Bất đẳng thức đã cho tương đương với:
\[{a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} + {e^2} - a\left( {b + c + d + e} \right) \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow {a^2} - a\left( {b + c + d + e} \right) + {b^2} + {c^2} + {d^2} + {e^2} \ge 0\]
Xét tam thức bậc hai: $f\left( a \right) = {a^2} - a\left( {b + c + d + e} \right) + {b^2} + {c^2} + {d^2} + {e^2}$
Ta có: $\Delta = {\left( {b + c + d + e} \right)^2} - 4\left( {{b^2} + {c^2} + {d^2} + {e^2}} \right)$
Theo bất đẳng thức BCS, ta có: \[{\left( {b + c + d + e} \right)^2} \le \left( {1 + 1 + 1 + 1} \right)\left( {{b^2} + {c^2} + {d^2} + {e^2}} \right) = 4\left( {{b^2} + {c^2} + {d^2} + {e^2}} \right)\]
Suy ra: \[\Delta = {\left( {b + c + d + e} \right)^2} - 4\left( {{b^2} + {c^2} + {d^2} + {e^2}} \right) \le 0 \Rightarrow f\left( a \right) \ge 0,\,\,\forall a \in \mathbb{R} \]
Từ đó ta có đpcm.
NM
2
F
25 tháng 9 2020
Đề thiếu rồi nhé: \(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\ge a\left(b+c+d+e\right)\)
Quá ez:))
Ta có: \(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\)
\(=\left(\frac{a^2}{4}+b^2\right)+\left(\frac{a^2}{4}+c^2\right)+\left(\frac{a^2}{4}+d^2\right)+\left(\frac{a^2}{4}+e^2\right)\)
\(\ge2\sqrt{\frac{a^2}{4}\cdot b^2}+2\sqrt{\frac{a^2}{4}\cdot c^2}+2\sqrt{\frac{a^2}{4}\cdot d^2}+2\sqrt{\frac{a^2}{4}\cdot e^2}\)
\(=ab+ac+ad+ae=a\left(b+c+d+e\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(\frac{a}{2}=b=c=d=e\)
25 tháng 9 2020
Sửa đề a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ≥ a( b + c + d + e )
a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ≥ a( b + c + d + e )
<=> a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ≥ ab + ac + ad + ae
Nhân 4 vào từng vế
<=> 4( a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ) ≥ 4( ab + ac + ad + ae )
<=> 4a2 + 4b2 + 4c2 + 4d2 + 4e2 ≥ 4ab + 4ac + 4ad + 4ae
<=> 4a2 + 4b2 + 4c2 + 4d2 + 4e2 - 4ab - 4ac - 4ad - 4ae ≥ 0
<=> ( a2 - 4ab + 4b2 ) + ( a2 - 4ac + 4c2 ) + ( a2 - 4ac + 4d2 ) + ( a2 - 4ae + 4e2 ) ≥ 0
<=> ( a - 2b )2 + ( a - 2c )2 + ( a - 2d )2 + ( a - 2e )2 ≥ 0 ( đúng )
Vậy bđt được chứng minh
Dấu "=" xảy ra <=> \(b=c=d=e=\frac{a}{2}\)
TM
1
PN
9 tháng 3 2016
\(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\ge a\left(b+c+d+e\right)\) \(\left(1\right)\)
\(\Leftrightarrow\) \(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2-a\left(b+c+d+e\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\) \(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2-ab-ac-ad-ae\ge0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(\frac{a^2}{4}-ab+b^2\right)+\left(\frac{a^2}{4}-ac+c^2\right)+\left(\frac{a^2}{4}-ad+d^2\right)+\left(\frac{a^2}{4}-ae+e^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(\frac{a}{2}-b\right)^2+\left(\frac{a}{2}-c\right)^2+\left(\frac{a}{2}-d\right)^2+\left(\frac{a}{2}-e\right)^2\ge0\) với mọi \(a,\) \(b,\) \(c,\) \(d,\) \(e\in R\) \(\left(2\right)\)
Bất đẳng thức \(\left(2\right)\) đúng, mà các phép biến đổi trên tương đương nên bất đẳng thức \(\left(1\right)\) được chứng minh.
Xảy ra đẳng thức trên khi và chỉ khi \(b=c=d=e=\frac{a}{2}\), tức \(a=2b=2c=2d=2e\)
T
24 tháng 11 2019
Bài 1:
Ta có: \(\frac{ab}{a+b}=ab.\frac{1}{a+b}\le\frac{ab}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=\frac{b}{4}+\frac{a}{4}\)
Tương tự các BĐT còn lại rồi cộng theo vế ta có d9pcm.
Bài 2: 2 bài đều dùng Svac cả!
(cần thì ib t gửi link cho)
10 tháng 9 2018
\(1.\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+3\ge2\left(a+b+c\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
\(2.\left(\frac{a}{2}-b\right)^2+\left(\frac{a}{2}-c\right)^2+\left(\frac{a}{2}-d\right)^2+\frac{a^2}{4}\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2\ge a\left(b+c+d\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=0\)
\(3.\left(\frac{a}{2}-b\right)^2+\left(\frac{a}{2}-c\right)^2+\left(\frac{a}{2}-d\right)^2+\left(\frac{a}{2}-e\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\ge a\left(b+c+d+e\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{a}{2}=b=c=d=e\)
4. Ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\left(c-d\right)^2\ge0\Rightarrow c^2+d^2\ge2cd\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2\ge2ab+2cd\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+ab+cd\ge3ab+3cd\)
Ta lại có:\(\left(\sqrt{ab}-\sqrt{cd}\right)^2\ge0\Rightarrow ab+cd\ge2\sqrt{abcd}=2\)
\(\Rightarrow3\left(ab+cd\right)\ge6\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+ab+cd\ge3\left(ab+cd\right)\ge6\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a=b\\c=d\\ab=cd\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c=d\)
MT
1
KY
18 tháng 6 2019
\(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\ge a\left(b+c+d+e\right)\)
\(\Leftrightarrow\) \(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2-ab-ac-ad-ae\ge0\)
\(\Leftrightarrow\) \(4a^2+4b^2+4c^2+4d^2+4e^2-4ab-4ac-4ad-4ae\ge0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(a^2-4ab+4b^2\right)+\left(a^2-4ac+4c^2\right)\)...\(\ge0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(a-2b\right)^2\)+\(\left(a-2c\right)^2\)...\(\ge\)0
nhớ tik nha
NC
2
3 tháng 11 2019
\(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\ge a\left(b+c+d+e\right)\)
\(\Leftrightarrow4a^2+4b^2+4c^2+4d^2+4e^2\ge4ab+4ac+4ad+4ae\)
\(\Leftrightarrow4a^2+4b^2+4c^2+4d^2+4e^2-4ab-4ac-4ad-4ae\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-4ab+4b^2\right)+\left(a^2-4ac+4c^2\right)+\left(a^2-4ad+4d^2\right)+\left(a^2-4ae+4e^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-2b\right)^2+\left(a-2c\right)^2+\left(a-2d\right)^2+\left(a-2e\right)^2\ge0\)( luôn đúng )
Vậy ...
TT
3
MT
17 tháng 4 2016
\(\Leftrightarrow4a^2+4b^2+4c^2+4d^2+4e^2\ge4ab+4ac+4ad+4ae\)
<=>(a2-4ab+4b2)+(a2-4ac+4c2)+(a2-4ad+4d2)+(a2-4ae+e2)\(\ge\)0
<=>(a-2b)2+(a-2c)2+(a-2d)2+(a-2e)2\(\ge\)0 (luôn đúng)
=>dpcm
F
6 tháng 10 2020
Xét hiệu:
\(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2-a\left(b+c+d+e\right)\)
\(=a^2+b^2+c^2+d^2+e^2-ab-ac-ad-ae\)
\(=\left(\frac{a^2}{4}-ab+b^2\right)+\left(\frac{a^2}{4}-ac+c^2\right)+\left(\frac{a^2}{4}-ad+d^2\right)+\left(\frac{a^2}{4}-ae+e^2\right)\)
\(=\left(\frac{a}{2}-b\right)^2+\left(\frac{a}{2}-c\right)^2+\left(\frac{a}{2}-d\right)^2+\left(\frac{a}{2}-e\right)^2\)
Do \(\left(\frac{a}{2}-b\right)^2\ge0\forall a,b;\left(\frac{a}{2}-c\right)^2\ge0\forall a,c\);\(\left(\frac{a}{2}-d\right)^2\ge0\forall a,d;\left(\frac{a}{2}-e\right)^2\ge0\forall a,e\)Do đó:
\(\left(\frac{a}{2}-b\right)^2+\left(\frac{a}{2}-c\right)^2+\left(\frac{a}{2}-d\right)^2+\left(\frac{a}{2}-e\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+e^2-a\left(b+c+d+e\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\ge a\left(b+c+d+e\right)\)
Dấu"="xảy ra khi \(b=c=d=e=\frac{a}{2}\)
6 tháng 10 2020
ô kê :))
a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ≥ a( b + c + d + e )
<=> a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ≥ ab + ac + ad + ae
Nhân 4 vào từng vế ta được
<=> 4( a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ) ≥ 4( ab + ac + ad + ae )
<=> 4a2 + 4b2 + 4c2 + 4d2 + 4e2 ≥ 4ab + 4ac + 4ad + 4ae
<=> 4a2 + 4b2 + 4c2 + 4d2 + 4e2 - 4ab - 4ac - 4ad - 4ae ≥ 0
<=> ( a2 - 4ab + 4b2 ) + ( a2 - 4ac + 4c2 ) + ( a2 - 4ad + 4d2 ) + ( a2 - 4ae + 4e2 ) ≥ 0
<=> ( a - 2b )2 + ( a - 2c )2 + ( a - 2d )2 + ( a - 2e )2 ≥ 0 ( đúng )
Vậy bđt được chứng minh
Dấu "=" xảy ra <=> b = c = d = e = a/2