Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a/ Đề sai (ko nói đến chuyện nhầm lẫn ở hạng tử thứ 2 lẽ ra là bc), bạn cho \(a=b=c=d=0,1\) là thấy vế trái lớn hơn vế phải
b/ \(\frac{1}{2}xy.2xy\left(x^2+y^2\right)\le\frac{1}{2}.\frac{\left(x+y\right)^2}{4}.\frac{\left(2xy+x^2+y^2\right)^2}{4}=\frac{\left(x+y\right)^6}{32}=\frac{64}{32}=2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)
c/ Bình phương 2 vế:
\(\Leftrightarrow\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{a^2c^2}{b^2}+2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{a^2c^2}{b^2}\ge a^2+b^2+c^2\)
Ta có: \(\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}\ge2b^2\) ; \(\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{a^2c^2}{b^2}\ge2c^2\); \(\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{a^2c^2}{b^2}\ge2a^2\)
Cộng vế với vế:
\(2\left(\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{a^2c^2}{b^2}\right)\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow...\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
bạn phá đảo BDT rồi làm làm gì nữa nhường cho người khác làm nữa chứ :v
Câu 1:
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
\(P=\frac{1}{x^2+2y^2+3}+\frac{1}{y^2+2z^2+3}+\frac{1}{z^2+2x^2+3}=\frac{1}{(x^2+y^2)+(y^2+1)+2}+\frac{1}{(y^2+z^2)+(z^2+1)+2}+\frac{1}{(z^2+x^2)+(x^2+1)+2}\)
\(\leq \frac{1}{2xy+2y+2}+\frac{1}{2yz+2z+2}+\frac{1}{2zx+2x+2}\)
hay \(P\leq \frac{1}{2}\left(\frac{1}{xy+y+1}+\frac{1}{yz+z+1}+\frac{1}{zx+x+1}\right)(1)\)
Do $xyz=1$ nên:
\(\frac{1}{xy+y+1}+\frac{1}{yz+z+1}+\frac{1}{zx+x+1}=\frac{1}{xy+y+1}+\frac{xy}{xy.yz+xyz+xy}+\frac{y}{yzx+yx+y}\)
\(=\frac{1}{xy+y+1}+\frac{xy}{y+1+xy}+\frac{y}{1+yx+y}=\frac{1+xy+y}{1+xy+y}=1(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow P\leq \frac{1}{2}.1=\frac{1}{2}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$
Bài 2 :
Áp dụng Cô si ta có :
\(\frac{a+1}{b^2+1}=\left(a+1\right)-\frac{\left(a+1\right)b^2}{b^2+1}\le\left(a+1\right)-\frac{\left(a+1\right)b^2}{2b}=\left(a+1\right)-\frac{ab+b}{2}\)
\(\frac{b+1}{c^2+1}\le\left(b+1\right)-\frac{bc+c}{2};\frac{c+1}{a^2+1}\le\left(c+1\right)-\frac{ca+a}{2}\) Cộng vế theo vế ta được: \(\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}\ge a+b+c+3-\frac{ab+bc+ca+a+b+c}{2}\ge6-\frac{ab+bc+ca+3}{2}\) Mặt khác ta có BĐT : \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\Leftrightarrow ab+bc+ca\le3\) Do đó : \(\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}\ge3\) Dấu " = " xay ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\)