Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(\frac{1+3a}{1+b^2}=\left(1+3a\right).\frac{1}{1+b^2}=\left(1+3a\right)\left(1-\frac{b^2}{1+b^2}\right)\)
\(\ge\left(1+3a\right)\left(1-\frac{b^2}{2b}\right)=\left(1+3a\right)\left(1-\frac{b}{2}\right)\)
\(=3a+1-\frac{b}{2}-\frac{3ab}{2}\)(1)
Tương tự ta có: \(\frac{1+3b}{1+c^2}=3b+1-\frac{c}{2}-\frac{3bc}{2}\)(2); \(\frac{1+3c}{1+a^2}=3c+1-\frac{a}{2}-\frac{3ca}{2}\)(3)
Cộng theo vế của 3 BĐT (1), (2), (3), ta được: \(\frac{1+3a}{1+b^2}+\frac{1+3b}{1+c^2}+\frac{1+3c}{1+a^2}\)\(\ge3\left(a+b+c\right)-\frac{a+b+c}{2}-\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2}+3\)
\(=\frac{5\left(a+b+c\right)}{2}-\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2}+3\)
\(\ge\frac{5.\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}}{2}-\frac{3.3}{2}+3=\frac{15}{2}-\frac{9}{2}+3=6\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
p \(\ge\)\(\frac{4}{a^2+b^2+2\left(a+b\right)}\) +\(\sqrt{\left(1+ab\right)^2}\) (bunhia và cosi)
=\(\frac{4}{a^2+b^2+2ab}+1+ab=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+a+b+1\)
do \(a+b=ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\Rightarrow a+b\ge4\)
dạt a+b = t thì t>=4
cần tìm min \(\frac{4}{t^2}+t+1=\frac{4}{t^2}+\frac{t}{16}+\frac{t}{16}+\frac{7t}{8}+1\)
\(\ge3.\sqrt[3]{\frac{4}{t^2}.\frac{t}{16}.\frac{t}{16}}+\frac{7.4}{8}+1=\frac{21}{4}\)
dau = xay ra khi a=b=2
\(M=\frac{\left(a+1\right)^2+2a}{a\left(a+1\right)}+\frac{\left(b+1\right)^2+2b}{b\left(b+1\right)}+\frac{\left(c+1\right)^2+2c}{c\left(c+1\right)}\)
\(M=\frac{a+1}{a}+\frac{b+1}{b}+\frac{c+1}{c}+2\left(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\right)\)
\(M=3+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+2\left(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\right)\)
\(M\ge3+\frac{9}{a+b+c}+2\left(\frac{9}{a+b+c+3}\right)\ge3+3+3=9\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
Cách làm dài bạn thông cảm mình nghĩ được có zậy thui ak :/
Ta có a, b là các số thực dương
Từ \(a+3b=ab\Leftrightarrow\frac{1}{b}+\frac{3}{a}=1\ge2\sqrt{\frac{3}{ab}}.\)(bất đẳng thức Cauchy cho 2 số không âm)
\(\Leftrightarrow\frac{12}{ab}\le1\Leftrightarrow ab\ge12\)\(\Leftrightarrow84ab-72ab\ge144\Leftrightarrow84ab\ge72\left(ab+2\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{12ab}{ab+2}\ge\frac{72}{7}\left(1\right)\)
Ta có \(P=\frac{a^2}{1+3b}+\frac{9b^2}{1+a}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{1+3b}\frac{9b^2}{1+a}}=\frac{6ab}{\sqrt{\left(1+a\right)\left(1+3b\right)}}\)(Bất đẳng thức Cauchy)
\(\ge\frac{6ab}{\frac{1+a+1+3b}{2}}=\frac{12ab}{a+3b+2}=\frac{12ab}{ab+2}\)(Bất đẳng thức Cauchy ngược dấu )
Kết hợp với (1) ta được :
\(P\ge\frac{12ab}{ab+2}\ge\frac{72}{7}.\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P=\frac{72}{7}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=3b\\a+3b=ab\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=6\\b=2\end{cases}.}}\)
Có 2 cáchm cách 1 dài nên làm cách 2 cho ngắn
Áp dụng BĐT AM-GM ta có
\(\left(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ac}{c}\right)^2\ge3\left(\frac{bc}{a}\cdot\frac{ca}{b}+\frac{bc}{a}\cdot\frac{ab}{c}+\frac{ca}{b}\cdot\frac{ab}{c}\right)=3\left(a^2+b^2+c^2\right)=3\)
\(\Rightarrow P\ge\sqrt{3}\). Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Ta có: \(\frac{a}{1+4b^2}=\frac{a\left(1+4b^2\right)-4ab^2}{1+4b^2}=a-\frac{4ab^2}{1+4b^2}\ge a-\frac{4ab^2}{2\sqrt{4b^2.1}}=a-\frac{2ab^2}{2b}=a-ab\)(bđt cosi)
CMTT: \(\frac{b}{1+4a^2}\ge b-ab\)
=> P \(\ge a+b-2ab=4ab-2ab=2ab\)
Mặt khác ta có: \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)(cosi)
=> \(4ab\ge2\sqrt{ab}\) <=> \(2ab\ge\sqrt{ab}\)<=> \(4a^2b^2-ab\ge0\) <=> \(ab\left(4ab-1\right)\ge0\)
<=> \(\orbr{\begin{cases}ab\le0\left(loại\right)\\ab\ge\frac{1}{4}\end{cases}}\)(vì a,b là số thực dương)
=> P \(\ge2\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = 1/2
Vậy MinP = 1/2 <=> a = b= 1/2
Ta có: \(a+b=4ab\le\left(a+b\right)^2\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left[\left(a+b\right)-1\right]\ge0\)
Mà \(a+b>0\Rightarrow a+b\ge1\)
Áp dụng BĐT Cô-si, ta có: \(P=\frac{a}{1+4b^2}+\frac{b}{1+4a^2}=\left(a-\frac{4ab^2}{1+4b^2}\right)+\left(b-\frac{4a^2b}{1+4a^2}\right)\)\(\ge\left(a-\frac{4ab^2}{4b}\right)+\left(b-\frac{4a^2b}{4a}\right)=\left(a+b\right)-2ab=\left(a+b\right)-\frac{a+b}{2}=\frac{a+b}{2}\ge\frac{1}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = 1/2