Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
3.1
Xét hiệu :
\(\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2-ab=\dfrac{a^2+2ab+b^2}{4}-\dfrac{4ab}{4}\)
\(=\dfrac{a^2-2ab+b^2}{4}=\dfrac{\left(a-b\right)^2}{4}\ge0\forall a,b\in R\)
Vậy \(\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\ge ab,\forall a,b\in R\)
Dấu bằng xảy ra : \(\Leftrightarrow a=b\)
3.2
Áp dụng kết quả của câu 3.1 vào câu 3.2 ta được:
\(\left(a+b+c\right)^2=[a+\left(b+c\right)]^2\ge4a\left(b+c\right)\)
Mà : \(a+b+c=1\left(gt\right)\)
nên : \(1\ge4a\left(b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow b+c\ge4a\left(b+c\right)^2\) ( vì a,b,c không âm nên b+c không âm )
Mà : \(\left(b+c\right)^2\ge4bc\Leftrightarrow\left(b-c\right)^2\ge0,\forall b,c\in N\)
\(\Rightarrow b+c\ge16abc\)
Dấu bằng xảy ra : \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b+c\\b=c\end{matrix}\right.\Leftrightarrow b=c=\dfrac{1}{4};a=\dfrac{1}{2}\)
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}-2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+b^2-2ab}{ab}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge0\left(ab>0\right)\)
Ta có: a,b > 0
=> \(\dfrac{a}{b},\dfrac{b}{a}>0\)
=> \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}}=2\)
Xét hiệu:
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}-2=\dfrac{a^2+b^2-2ab}{ab}=\dfrac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge0\) ( luôn đúng)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\)
áp dụng BĐT cô si cho 2 số ko âm ta có
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}}\)
<=> \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\) (đpcm)
a) theo định lý côsi :
\(\dfrac{a}{b}\)+\(\dfrac{b}{a}\)luôn >=2 với mọi a, b , a.b > 0
Cho a, b là 2 số dương. Chứng minh rằng: \(a^4+b^4\ge a^3b+ab^3\). Dấu của đẳng thức xảy ra khi nào?
Ta có BĐT : a2 + b2 ≥ 2ab
=> \(\dfrac{a^2+b^2}{ab}\) ≥ 2
=> \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\) ≥ a
Dấu " = " xảy ra khi : a = b
\(\text{ Ta có : }\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}=\dfrac{b^2}{ab}+\dfrac{a^2}{ab}\\ \\ =\dfrac{a^2+b^2}{ab}\)
Áp dụng BDT Cô-si: \(x^2+y^2\ge2xy\)
\(\Rightarrow\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}=\dfrac{a^2+b^2}{ab}\ge\dfrac{2ab}{ab}\ge2\left(đpcm\right)\)
Vậy \(\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}\ge2\). Đẳng thức xảy ra khi \(a=b\)