Question

[Lê Nguyễn Trường Huy]

Cho a, b, c lần lượt là độ dài 3 cạnh của tam giác và thỏa mãn 2ab+3bc+4ca=5abc.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(P=\frac{7}{a+b-c}+\frac{6}{b+c-a}+\frac{5}{c+a-b}\)

Trích đề thi chuyên Toán Lý Tự Trọng TP.Cần Thơ 2016-2017.

Các bạn gợi ý cho mình nha!

Answer 1

[Hoàng Lê Bảo Ngọc]

Từ giả thiết : \(2ab+3bc+4ac=5abc\)Vì a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên chia cả hai vế cho \(abc>0\)được : 

\(\frac{2}{c}+\frac{3}{a}+\frac{4}{b}=5\)

Áp dụng bất đẳng thức phụ sau : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)( x,y là số dương.  Dấu đẳng thức xảy ra <=> x = y  )

(Bạn tự chứng minh bằng biến đổi tương đương nhé!)

Ta có : \(P=\frac{7}{a+b-c}+\frac{6}{b+c-a}+\frac{5}{c+a-b}=\left(\frac{2}{c+a-b}+\frac{2}{b+c-a}\right)+\left(\frac{3}{c+a-b}+\frac{3}{a+b-c}\right)+\left(\frac{4}{a+b-c}+\frac{4}{b+c-a}\right)\)\(=2\left(\frac{1}{c+a-b}+\frac{1}{b+c-a}\right)+3\left(\frac{1}{c+a-b}+\frac{1}{a+b-c}\right)+4\left(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\right)\ge2.\frac{4}{c+a-b+b+c-a}+3.\frac{4}{c+a-b+a+b-c}+4.\frac{4}{a+b-c+b+c-a}=\frac{8}{2c}+\frac{12}{2a}+\frac{16}{2b}=\frac{4}{c}+\frac{6}{a}+\frac{8}{b}=2\left(\frac{2}{c}+\frac{3}{a}+\frac{4}{b}\right)=10\)Vậy Min P = 10 \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{9}{5}\)

Answer 2

[Viên đạn bạc]

2ab+3bc+4ca=5abc

chia hai vế với abc

=>\(\frac{2}{c}+\frac{3}{a}+\frac{4}{b}=5\)

=> tự giải tiếp