Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(\left\{\begin{matrix}a=\frac{1}{3x} & & \\ b=\frac{4}{5y} & & \\c=\frac{3}{2z} \end{matrix}\right.\)\((x,y,z>0)\)
Khi đó \(21a+2bc+8ca\leq12 \Leftrightarrow 3x+5y+7x \leq 15xyz\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(3x+5y+7z\geq 15\sqrt[15]{x^3y^5z^7}\)
\(\Rightarrow 15xyz\geq 15\sqrt[15]{x^3y^5z^7}=>x^6y^5z^4\geq 1\)
Ta có: \(P = 3x + 2.\dfrac{5}{4}y + 3.\dfrac{2}{3}z \)
\(= \dfrac{1}{2}(6x + 5y + 4z) \ge \dfrac{1}{2}.15\sqrt[{15}]{{{x^6}{y^5}{z^4}}} \ge \dfrac{{15}}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=1\) hay \(\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{1}{3}\\b=\dfrac{4}{5}\\c=\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)
Đặt : \(x=\frac{1}{a};y=\frac{2}{b};z=\frac{3}{c}\)
Khi đó điều kiện bài toán thành : \(2xyz\ge2x+4y+7z\)
và \(E=x+y+z\)
\(\Rightarrow z\left(2xy-7\right)\ge2x+4y\)
\(\Leftrightarrow2xy>7\)và \(z\ge\frac{2x+4y}{2xy-7}\)
Ta có : \(\left(x+y+z\right)\ge x+y+\frac{2x+4y}{2xy-7}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\ge x+\frac{11}{2x}+y-\frac{7}{2x}+\frac{2x+\frac{14}{x}}{2xy-7}\)
mà \(2\sqrt{1+\frac{7}{x^2}}\ge\frac{3+\frac{7}{x}}{2}\)
\(\Rightarrow x+y+z\ge\frac{3}{2}+x+\frac{9}{2}\ge\frac{15}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=\frac{1}{3};b=\frac{4}{5};c=\frac{3}{2}\left(x=3;y=\frac{5}{2};z=2\right)\)
_Hắc phong_
Đặt \(x=\frac{1}{a};y=\frac{2}{b};z=\frac{3}{c}\)
Khi đó ta được điều kiện : \(2xyz\ge2x+4y+7z\)
Áp dụng bất ẳng thức AM-GM ta thấy rằng :
\(x+y+z=\frac{1}{15}.\left(\frac{5}{2}x+\frac{5}{2}x+....+\frac{5}{2}x+3y+3y+.....+3y+\frac{15}{4}z+\frac{15}{4}z+...+\frac{15}{4}z\right)\)
(6 số \(\frac{5}{2}x\)) (5 số\(3y\)) (4 số\(\frac{15}{4}z\))
\(\ge\left(\frac{5x}{2}\right)^{\frac{2}{5}}\left(3y\right)^{\frac{1}{3}}\left(\frac{15z}{4}\right)^{\frac{4}{15}}\)
Và cũng có :
\(2x+4x+7z=\frac{1}{15}\left(10x+...+10x+12y+...+12y+15z+..+15z\right)\)
(3 số\(10x\)) (5 số\(12y\)) (7 số\(15z\))
\(\ge10^{\frac{1}{5}}.12^{\frac{1}{3}}.15^{\frac{7}{15}}.x^{\frac{1}{5}}.y^{\frac{1}{3}}.z^{\frac{7}{15}}\)
Điều này có nghĩa là :
\(\left(x+y+z\right)^2\left(2x+4y+7z\right)\ge\frac{225}{2}xyz\)
Vì \(2xyz\ge2x+4y+7z\)nên ta có :
\(\left(x+y+z\right)^2\ge\frac{225}{4}\Rightarrow x+y+z\ge\frac{15}{2}\)
Dấu"="xảy ra kh\(x=2;y=\frac{5}{2};=2\)
Từ đó suy ra
\(a=\frac{1}{3};b=\frac{4}{5};c=\frac{3}{2}\)
P/s : \(min_E=\frac{15}{2}\)
_Minh ngụy_
\(2x+8y+21z\leq 12xyz\Rightarrow 3z\geq \frac{2x+8y}{4xy-7}\Rightarrow P\geq x+2y+\frac{2x+8y}{4xy-7}=x+\frac{11}{2x}+\frac{1}{2x}\left [ (4xy-7)+\frac{4x^{2}+28}{4xy-7} \right ]\geq x+\frac{11}{2x}+\frac{1}{x}\sqrt{4x^{2}+28}=x+\frac{11}{2x}+\frac{3}{2}\sqrt{\left ( 1+\frac{7}{9} \right )\left ( 1+\frac{7}{x^{2}} \right )}\geq x+\frac{11}{2x}+\frac{3}{2}\left ( 1+\frac{7}{3x} \right )=x+\frac{9}{x}+\frac{3}{2}\geq 6+\frac{3}{2}=\frac{15}{2}\)
Đặt:⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪a=13xb=45yc=32z{a=13xb=45yc=32z (x,y,z>0)(x,y,z>0)
Khi đó điều kiện đã cho trở thành:3x+5y+7z≤15xyz3x+5y+7z≤15xyz
Áp dụng AM−GMAM−GM ta có:
3x+5y+7z≥15x3y5z7−−−−−−√153x+5y+7z≥15x3y5z715
=>15xyz≥15x3y5z7−−−−−−√15=>x6y5z4≥1.=>15xyz≥15x3y5z715=>x6y5z4≥1.
Ta có:
P=3x+2.54y+3.23z=12(6x+5y+4z)≥12.15x6y5z4−−−−−−√15≥152P=3x+2.54y+3.23z=12(6x+5y+4z)≥12.15x6y5z415≥152 (AM−GM) (AM−GM)
Dấu ′=′′=′ xảy ra <=><=> x=y=z=1x=y=z=1 hay a=13;b=45;c=32