Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1. Không có dấu "=" em nhé.
Vì $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh tam giác nên theo BĐT tam giác thì:
$a< b+c\Rightarrow a^2< ab+ac$
$b< a+c\Rightarrow b^2< ba+bc$
$c< a+b\Rightarrow c^2< ca+cb$
$\Rightarrow a^2+b^2+c^2< 2(ab+bc+ac)$
Ta có đpcm.
2.
$(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$
$=(x-1)(x-4)(x-2)(x-3)$
$=(x^2-5x+4)(x^2-5x+6)$
$=(x^2-5x+4)(x^2-5x+4+2)$
$=(x^2-5x+4)^2+2(x^2-5x+4)$
$=(x^2-5x+4)^2+2(x^2-5x+4)+1-1$
$=(x^2-5x+5)^2-1\geq 0-1=-1$ do $(x^2-5x+5)^2\geq 0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$
Vậy ta có đpcm.
Câu 1: a)
b) Áp dụng Bđt Holder ta có:
\(\Rightarrow9\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(a+b+c\right)^3\)
\(\Rightarrow\frac{a^3+b^3+c^3}{3}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^3}{27}=\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3\)(đpcm)
Dấu = khi a=b=c
Câu 2:
Áp dụng Bđt \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)ta có:
\(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\ge\frac{4}{a+b+1+1}=\frac{4}{3}\)(Đpcm)
Dấu = khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
Câu 3:
Áp dụng Bđt \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\)ta có:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=9\left(a+b+c=1\right)\)(Đpcm)
Dấu = khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Câu 4: nghĩ sau
Đơn giản xúc tích ngắn gọn dễ hiểu :)) Cauchy-Schwarz dạng Engel + Cosi nhé
\(\frac{a^3}{1+b^2}+\frac{b^3}{1+a^2}=\frac{a^2}{b^3+b}+\frac{b^2}{a^3+a}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2+1\right)}=\frac{a+b}{a^2+b^2}\ge\frac{2\sqrt{ab}}{2\sqrt{\left(ab\right)^2}}=1\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=\frac{1}{2}\)
Chúc bạn học tốt ~
ấy khúc cuối ngu was -,-
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=1\) ( vì a, b dương )
Chúc bạn học tốt ~
Ta có \(\frac{a^3}{b^2+1}=\frac{a^3}{b^2+ab}=\frac{a^3}{b\left(a+b\right)}\)
Áp dụng BĐT cosi
\(\frac{a^3}{b\left(a+b\right)}+\frac{b}{2}+\frac{a+b}{4}\ge\frac{3}{2}a\)
TT \(\frac{b^3}{a\left(a+b\right)}+\frac{a}{2}+\frac{a+b}{4}\ge\frac{3}{2}b\)
=> \(VT\ge\frac{1}{2}\left(a+b\right)\ge\sqrt{ab}=1\)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=1
Lui mới lớp 6