Question

[Thanh Quốc]

Cho a, b > 0. Chứng minh:

Hd : sử dụng BĐT Côsi cho hai số dương a, b và 1 + ab

Answer 1

[Trần Kiều Anh]

Vì a>0; b>0 nên a + b \geq
\Leftrightarrow (a + b)(1 + ab)\geq 4ab
\Leftrightarrow a + b + a^2b+ab^2\geq 4ab
\Leftrightarrow a + b + a^b + ab^2 - 4ab\geq 0
\Leftrightarrow (a^2b - 2ab + b) + (ab^2 - 2ab +a) \geq 0
\Leftrightarrow b(a^2 -2a + 1) + a(b^2 - 2B + 1)\geq 0
\Leftrightarrow b(a-1)^2 + a(b-1)^2\geq 0
\Rightarrow Bất đẳng thức đúng\Rightarrow đpcm.

Answer 2

[Phan Cả Phát]

Vì a,b > 0 =) ab > 0

Áp dụng BĐT Côsi cho hai số a,b không âm ta có :

\(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)

\(\Rightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)

Áp dụng BĐT Côsi cho hai số 1 , ab không âm ta có :

\(\frac{1+ab}{2}\ge\sqrt{ab}\)

\(\Rightarrow1+ab\ge2\sqrt{ab}\)

Ta có :

\(\frac{4ab}{1+ab}\le\frac{4ab}{2\sqrt{ab}}\)(Vì \(1+ab\ge2\sqrt{ab}\))

mà \(\frac{4ab}{2\sqrt{ab}}=2\sqrt{ab}\)

\(\Rightarrow\frac{4ab}{1+ab}\le2\sqrt{ab}\)(1)

Lại có : \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)(2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow a+b\ge\frac{4ab}{1+ab}\)

Chúc bạn học tốt =))