Question

[Duyen Đao]

Cho 4 số thực a, b, c thỏa mãn a ≥ b ≥ c ≥ d ≥0. Chứng minh

a) a² - b² +c² ≥ (a-b+c)²

^b) a² - b² +c² -d² ≥ (a-b+c-d)²

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

a/ \(\Leftrightarrow a^2-b^2+c^2\ge a^2+b^2+c^2-2ab+2ac-2bc\)

\(\Leftrightarrow b^2-ab+ac-bc\le0\)

\(\Leftrightarrow b\left(b-a\right)-c\left(b-a\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(b-c\right)\left(b-a\right)\le0\) (luôn đúng do \(a\ge b\ge c\))

Dấu "=" xảy ra khi \(\left[{}\begin{matrix}a=b\\b=c\end{matrix}\right.\)

b/ Tương tự như câu trên:

\(a^2-b^2+c^2-d^2\ge\left(a-b+c\right)^2-d^2=\left(a-b+c-d\right)\left(a-b+c+d\right)\ge\left(a-b+c-d\right)^2\)