Cho 4 số dương,cmr: \(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+d}+\dfrac{c}{a+d}+\dfrac{d}{a+b}\ge2\)

K

Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

Chọn lớp

Chọn môn

Mua vip

MH

Mai Huyền My

14 tháng 7 2018

Cho 4 số dương,cmr: \(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+d}+\dfrac{c}{a+d}+\dfrac{d}{a+b}\ge2\)

1

DT

Đạt Trần

14 tháng 7 2018

https://i.imgur.com/kunWlGL.png

Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên

IL

I like to be free!

3 tháng 4 2023 - olm

Cho các số dương a,b,c,d. Chứng minh :

\(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+d}+\dfrac{c}{d+a}+\dfrac{d}{a+b}\ge2\)

2

NT

Nguyễn thành Đạt

3 tháng 4 2023

Bài làm :

Ta có : \(\left(x-y\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow x^2+y^2\ge2xy\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{xy}\ge\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}\left(1\right)\)

Áp dụng BĐT (1) ta có :

\(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{c}{d+a}=\dfrac{a^2+ad+bc+c^2}{\left(b+c\right)\left(d+a\right)}\ge\dfrac{4\left(a^2+ad+bc+c^2\right)}{\left(a+b+c+d\right)^2}\left(2\right)\)

Tương tự : \(\dfrac{b}{c+d}+\dfrac{d}{a+b}\ge\dfrac{4\left(b^2+ab+cd+d^2\right)}{\left(a+b+c+d\right)^2}\left(3\right)\)

Cộng các về của các BĐT (2) và (3) ta được :

\(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+d}+\dfrac{c}{d+a}+\dfrac{d}{a+b}\ge\dfrac{4\left(a^2+b^2+c^2+d^2+ad+bc+ab+cd\right)}{\left(a+b+c+d\right)^2}\)

\(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+d}+\dfrac{c}{d+a}+\dfrac{d}{a+b}\ge\dfrac{2\left(2a^2+2b^2+2c^2+2d^2+2ad+2bc+2ab+2cd\right)}{\left(a+b+c+d\right)^2}\)

\(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+d}+\dfrac{c}{d+a}+\dfrac{d}{a+b}\ge\dfrac{2[\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+d\right)^2+\left(a+d\right)^2]}{\left(a+b+c+d\right)^2}=2B\)

Ta dễ dàng chứng minh được : \(B\ge1\)

Thật vậy :

\(\dfrac{\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+d\right)^2+\left(a+d\right)^2}{\left(a+b+c+d\right)^2}\ge1\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+d\right)^2+\left(d+a\right)^2\ge\left(a+b+c+d\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(a-c\right)^2+\left(b-d\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrowđpcm\)

Dấu đằng thức xảy ra : \(\Leftrightarrow a=c;b=d\)

HT

huynh thuy an

3 tháng 4 2023

khó thế tui ko hỉu

KK

Kaito Kid

12 tháng 9 2017

Cho các số dương a,b,c .Chứng minh rằng bất đẳng thức

\(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+d}}+\sqrt{\dfrac{c}{d+a}}+\sqrt{\dfrac{d}{a+b}}\)\(\ge2\)

2

UK

Unruly Kid

12 tháng 9 2017

BĐT Nesbitt cho 4 biến, bạn tham khảo google nhiều lắm :3

KK

Kaito Kid

12 tháng 9 2017

Mk viết nhầm tất cả bỏ căn nhá

Y

yeens

10 tháng 1 2022

cho 4 số dương a, b, c, d. chứng minh \(\dfrac{a+b}{b+c+d}+\dfrac{b+c}{c+d+a}+\dfrac{c+d}{d+a+b}+\dfrac{d+a}{a+b+c}\ge\dfrac{8}{3}\)

0

TZ

Tobot Z

20 tháng 10 2018

Cho a,b,c là các số thực dương

CMR

\(1\le\dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{b+c+d}+\dfrac{c}{c+d+a}+\dfrac{d}{d+a+b}\le2\)

0

BV

Biển Vũ Đức

26 tháng 12 2018

Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn a+b+c+ab+ac+bc=6.

a,Tìm GTLN của P=abc

b,CMR \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{4}{c}+\dfrac{16}{d}\dfrac{>}{ }\dfrac{64}{a+b+c+d}\) với a,b,c,d là các số dương

1

HT

Học tốt

26 tháng 12 2018

b) Ta có:

\(\dfrac{1^2}{a}+\dfrac{1^2}{b}+\dfrac{1^2}{c}+\dfrac{1^2}{d}\ge\dfrac{\left(1+1+1+1\right)^2}{a+b+c+d}=\dfrac{16}{a+b+c+d}\)

Dấu = xảy rakhi a=b=c=d

CM : bn tự chứng minh

Áp dụng:

Ta có:

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{4}{c}+\dfrac{16}{d}=\dfrac{1^2}{a}+\dfrac{1^2}{b}+\dfrac{2^2}{c}+\dfrac{4^2}{d}\ge\dfrac{\left(1+1+2+4\right)^2}{a+b+c+d}=\dfrac{64}{a+b+c+d}\)

Dấu = xảy ra khi \(a=b=\dfrac{c}{2}=\dfrac{d}{4}\)

ND

Nguyễn Đức Lâm

3 tháng 3 2022

Cho a,b,c,d,A,B,C,D là các số nguyên dương và \(\dfrac{a}{A}=\dfrac{b}{B}=\dfrac{c}{C}=\dfrac{d}{D}\)

CMR \(\sqrt{aA}+\sqrt{bB}+\sqrt{cC}+\sqrt{dD}=\sqrt{\left(a+b+c+d\right)\left(A+B+C+D\right)}\)

Giúp mình với các cao nhân

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

3 tháng 3 2022

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, đặt:

\(\dfrac{a}{A}=\dfrac{b}{B}=\dfrac{c}{C}=\dfrac{d}{D}=\dfrac{a+b+c+d}{A+B+C+D}=k>0\)

\(\Rightarrow a=kA;b=kB;c=kC;d=kD;a+b+c+d=k\left(A+B+C+D\right)\)

Do đó:

\(\sqrt{aA}+\sqrt{bB}+\sqrt{cC}+\sqrt{dD}=\sqrt{kA^2}+\sqrt{kB^2}+\sqrt{kC^2}+\sqrt{kD^2}\)

\(=\sqrt{k}\left(A+B+C+D\right)\) (1)

\(\sqrt{\left(a+b+c+d\right)\left(A+B+C+D\right)}=\sqrt{k\left(A+B+C+D\right)^2}=\sqrt{k}\left(A+B+C+D\right)\) (2)

Từ (1);(2) suy ra điều phải c/m

HB

Hoai Bao Tran

10 tháng 11 2017

cho a,b,c dương. CMR: \(\dfrac{a}{bc}+\dfrac{b}{ca}+\dfrac{c}{ab}\ge2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{c}\right)\)

2

UK

Unruly Kid

10 tháng 11 2017

Đề đung đúng :D

\(\dfrac{a}{bc}+\dfrac{b}{ca}+\dfrac{c}{ab}\ge2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{c}\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+b^2+c^2}{abc}\ge2\left(\dfrac{ab+bc-ca}{abc}\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge2\left(ab+bc-ca\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-2ab-2bc+2ca\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(c+a-b\right)^2\ge0\)

Vậy ta có đpcm

HN

Hà Nam Phan Đình

10 tháng 11 2017

đề sai sai

LD

l҉o҉n҉g҉ d҉z҉

13 tháng 4 2021

Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng :

\(\dfrac{a}{\sqrt{b^2+\dfrac{bc}{4}+c^2}}+\dfrac{b}{\sqrt{c^2+\dfrac{ca}{4}+a^2}}+\dfrac{c}{\sqrt{a^2+\dfrac{ba}{4}+b^2}}\ge2\)

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

14 tháng 4 2021

\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{\sqrt{4b^2+bc+4c^2}}+\dfrac{b}{\sqrt{4c^2+ca+4a^2}}+\dfrac{c}{\sqrt{4a^2+ab+4b^2}}\ge1\)

Ta có:

\(\sum\left(\dfrac{a}{\sqrt{4b^2+bc+4c^2}}\right)^2\sum a\left(4b^2+bc+4c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^3\)

Nên ta chỉ cần chứng minh:

\(\dfrac{\left(a+b+c\right)^3}{a\left(4b^2+bc+4c^2\right)+b\left(4c^2+ac+4a^2\right)+c\left(4a^2+ab+4b^2\right)}\ge1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+b+c\right)^3}{4a\left(b^2+c^2\right)+4b\left(c^2+a^2\right)+4c\left(a^2+b^2\right)+3abc}\ge1\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3abc\ge ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)\) (đúng theo Schur bậc 3)

VT

Võ Thị Kim Dung

23 tháng 8 2017

Cho a,b,c là ba số dương thõa mãn a + b + c = 1. CMR :

\(\dfrac{c+ab}{a+b}+\dfrac{a+bc}{b+c}+\dfrac{b+ac}{a+c}\ge2\)

1

FL

Feed Là Quyền Công Dân

23 tháng 8 2017

Từ \(a+b+c=1\Rightarrow2\left(a+b+c\right)=2\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)=2\)

Và BĐT trên tương đương với

\(VT=\dfrac{c+ab}{a+b}+\dfrac{a+bc}{b+c}+\dfrac{b+ac}{a+c}\)

\(=\dfrac{c\left(a+b+c\right)+ab}{a+b}+\dfrac{a\left(a+b+c\right)+bc}{b+c}+\dfrac{b\left(a+b+c\right)+ac}{a+c}\)

\(=\dfrac{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}{a+b}+\dfrac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{b+c}+\dfrac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{a+c}\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=x\\b+c=y\\c+a=z\end{matrix}\right.\)\(\left(x,y,z>0\right)\) thì ta có:

\(\dfrac{yz}{x}+\dfrac{xz}{y}+\dfrac{xy}{z}\ge2\)\(\forall\left\{{}\begin{matrix}x,y,z>0\\x+y+z=2\end{matrix}\right.\)

Đúng theo BĐT AM-GM

DD

Đức Đoàn Việt

30 tháng 9 2018

tại sao khúc cuối lại đúng với BĐT AM-GM? giải thích giúp mình được không?