Question

[chi chăm chỉ]

cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn đk :\(a+b+c=\frac{1}{abc}\)

CMR: \(\sqrt{\frac{\left(1+b^2c^2\right)\left(1+a^2c^2\right)}{c^2+a^2b^2c^2}}=a+b\)

Answer 1

[Lương Ngọc Anh]

ta có: \(a+b+c=\frac{1}{abc}=>abc\left(a+b+c\right)=1.\)

thay 1 vào các biểu thức 1+b²c² và 1+a²c² có:

\(1+b^2c^2=abc\left(a+b+c\right)+b^2c^2=bc\left(a^2+ab+ac+bc\right)=bc\left(a+c\right)\left(a+b\right)\)(1)
tương tự \(1+a^2c^2=ac\left(a+b\right)\left(b+c\right)\)(2)

Xét \(c^2+a^2b^2c^2=c^2\left(1+b^2a^2\right)=c^2\left(a+c\right)\left(b+c\right)ab\)(3)

Thay (1)(2)(3) vào Vế trái được:\(\sqrt{\left(a+b\right)^2}=a+b\left(đpcm\right)\)