Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đây nhé @Liana
\(2a^2+\left(2-\sqrt{3}\right)b^2+2a^2+\left(2-\sqrt{3}\right)c^2+\left(\sqrt{3}-1\right)b^2+\left(\sqrt{3}-1\right)c^2\)
\(\ge2\sqrt{4-2\sqrt{3}}ab+2\sqrt{4-2\sqrt{3}}ac+2\left(\sqrt{3}-1\right)bc\)
\(\Leftrightarrow4a^2+b^2+c^2\ge2\left(\sqrt{3}-1\right)\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow4\ge2\left(\sqrt{3}-1\right)\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow1+\sqrt{3}\ge ab+bc+ca\)
\(\Rightarrow dpcm\)
oaaa
\(VT=\sum\frac{ab}{\sqrt{\left(a+b+c\right)c+ab}}=\sum\frac{ab}{\sqrt{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\le\sum\frac{ab}{2}\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left[\frac{ab+ca}{b+c}+\frac{ab+bc}{c+a}+\frac{bc+ca}{a+b}\right]=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)=1\)
Cosi + Svac-xơ
Có : \(3=a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)\(\Leftrightarrow\)\(a+b+c\le3\)
\(\frac{1}{4-\sqrt{ab}}+\frac{1}{4-\sqrt{bc}}+\frac{1}{4-\sqrt{ca}}\le\frac{1}{4-\frac{a+b}{2}}+\frac{1}{4-\frac{b+c}{2}}+\frac{1}{4-\frac{c+a}{2}}\)
\(=-\left(\frac{1}{\frac{a+b}{2}-4}+\frac{1}{\frac{b+c}{2}-4}+\frac{1}{\frac{c+a}{2}-4}\right)\le\frac{-\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c-12}=\frac{-9}{3-12}=1\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c=1\)
BĐT <=> \(\frac{2}{a^2+2}+\frac{2}{b^2+2}+\frac{2}{c^2+2}\le2\)
\(\Leftrightarrow1-\frac{a^2}{a^2+2}+1-\frac{b^2}{b^2+2}+1-\frac{c^2}{c^2+2}\le2\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{a^2+2}+\frac{b^2}{b^2+2}+\frac{c^2}{c^2+2}\ge1\)
Theo BĐT Svacxo:
\(VT\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+6}=\frac{a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)}{a^2+b^2+c^2+6}=\frac{a^2+b^2+c^2+6}{a^2+b^2+c^2+6}=1\)
Vậy ta có đpcm.
P/s: Đúng ko ta?
Ta có:\(ab^2+bc^2+ca^2-4abc=0\Leftrightarrow\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}=4\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge2\sqrt{\frac{b}{a}};\frac{c}{a}+\frac{a}{b}\ge2\sqrt{\frac{c}{b}};\frac{a}{b}+\frac{b}{c}\ge2\sqrt{\frac{a}{c}}\)
Cộng theo vế các BĐT trên ta được : \(\sqrt{\frac{b}{a}}+\sqrt{\frac{c}{b}}+\sqrt{\frac{a}{c}}\le4\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{b}{c}=\frac{c}{a}=\frac{a}{b}=\frac{4}{3}\)( vô lý)
Vậy đẳng thức không thể xảy ra.