Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Giả sử trong 2018 số này không tồn tại 2 số nào bằng nhau.
Giả sử \(a_1>a_2>...>a_{2018}\)
\(\Rightarrow a_{2018}\ge2,a_{2017}\ge3,...,a_1\ge2019\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a_1^2}+\frac{1}{a_2^2}+...+\frac{1}{a_{2018}^2}\le\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{2019^2}\)\(< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{2018.2019}\)
\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2018}-\frac{1}{2019}< 1\)(mâu thuẫn với giả thiết)
=> điều giả sử không xảy ra=>đpcm
Giả sử trong 2018 số đó chẳng có số nào bằng nhau và tất cả các số đều lớn hơn 1. Thế thì:
1a21+1a22+1a23+…+1a220181a12+1a22+1a32+…+1a20182≤122+132+142+…+120192≤122+132+142+…+120192
Cơ mà:
122+132+142+…+120192122+132+142+…+120192<11.2+12.3+13.4+…+12018.2019<11.2+12.3+13.4+…+12018.2019
=1–12019<1=1–12019<1 (theo phần a)
Thế nhưng đề bài cho 1a21+1a22+1a23+…+1a22018=11a12+1a22+1a32+…+1a20182=1 (vô lý)
Vậy thể nào trong 2018 số tự nhiên đó cũng có 2 số bằng nhau
Giả sử a1;a2;a3;a4;........;a50a1;a2;a3;a4;........;a50 là 50 số tự nhân khác nhau và 0<a1<a2<a3<........<a500<a1<a2<a3<........<a50
⇒1a1+1a2+1a3+1a4+.....+1a50≤11+12+13+.....+150⇒1a1+1a2+1a3+1a4+.....+1a50≤11+12+13+.....+150
<1+12+12+....+12=1+492=512<1+12+12+....+12=1+492=512 (mâu thuẫn giả thiết)
⇒⇒Trong 50 số trên có ít nhất 2 số bằng nhau
Giả sử trong 100 số đó không có số nào bằng nhau a1 > a2>a3>.....a100
Mà a1,a2,a3,...,a100 thuộc Z
\(\Rightarrow\frac{1}{a1}+\frac{1}{a2}+\frac{1}{a3}+...+\frac{1}{a100}\le1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{100}< 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2}=\frac{101}{2}\)(vôlý)
Vậy có ít nhất 2 số bằng nhau trong dãy số trên
Giả sử 100 số đó đôi một khác nhau
Không mất tính tổng quát giả sử 0<a1<a2<a3<...<a1000<a1<a2<a3<...<a100
Vậy a1≥1;a2≥2;....;a100≥100a1≥1;a2≥2;....;a100≥100suy ra 1/a1+1/a2+...+1/a100≤1+12+13+...+11001a1+1a2+...+1a100≤1+1/2+1/3+...+1/100
⇒1/a1+1/a2+...+1/a100<1+1/2+1/2+...+1/2(99 phân số 1/2)
⇒1/a1+1/a2+...+1/a100<1/2.(2+99)=1/2.101=101/2trái với giả thiết.
Vì vậy điều giả sử sai, ta có điều phải chứng minh