Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(\left(a+\sqrt{a^2+9}\right)\left(b+\sqrt{b^2+9}\right)=9\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-\sqrt{a^2+9}\right)\left(a+\sqrt{a^2+9}\right)\left(b+\sqrt{b^2+9}\right)}{a-\sqrt{a^2+9}}=9\)
\(\Leftrightarrow\frac{-9\left(b+\sqrt{b^2+9}\right)}{a-\sqrt{a^2+9}}=9\)
\(\Rightarrow b+\sqrt{b^2+9}=\sqrt{a^2+9}-a\)
Tương tự chỉ ra được: \(a+\sqrt{a^2+9}=\sqrt{b^2+9}-b\)
Cộng vế 2 PT trên lại ta được:
\(a+b+\sqrt{a^2+9}+\sqrt{b^2+9}=\sqrt{a^2+9}+\sqrt{b^2+9}-a-b\)
\(\Leftrightarrow2\left(a+b\right)=0\Rightarrow a=-b\)
Thay vào M ta được:
\(M=2a^4-a^4-6a^2+8a^2-10a+2a+2026\)
\(M=a^4+2a^2-8a+2026\)
\(M=\left(a^4+2a^2-8a+5\right)+2021\)
\(M=\left[\left(a^4-a^3\right)+\left(a^3-a^2\right)+\left(3a^2-3a\right)-\left(5a-5\right)\right]+2021\)
\(M=\left(a-1\right)\left(a^3+a^2+3a-5\right)+2021\)
\(M=\left(a-1\right)^2\left(a^2+2a+5\right)+2021\)\(\ge0+2021=2021\)
Dấu "=" xảy ra khi: a = 1 => b = -1
Vậy Min(M) = 2021 khi a = 1 và b = -1
Lời giải:
Đặt $\sqrt{4-a^2}=x; \sqrt{4-b^2}=y; \sqrt{4-c^2}=z$ thì bài toán trở thành:
Cho $x,y,z\in [0;2]$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=6$. Tìm min: $P=x+y+z$
-------------------
Ta có: $P^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)=6+2(xy+yz+xz)$
Vì $x,y,z\in [0;2]$ nên:
$(x-2)(y-2)(z-2)\leq 0\Leftrightarrow 2(xy+yz+xz)\geq xyz+4(x+y+z)-8\geq 4(x+y+z)-8=4P-8$
Vậy $P^2=6+2(xy+yz+xz)\geq 6+4P-8$
$\Leftrightarrow P^2-4P+2\geq 0$
$\Leftrightarrow (P-2)^2\geq 2\Rightarrow P\geq 2+\sqrt{2}$.
Vậy $P_{\min}=2+\sqrt{2}$.
Dấu "=" xảy ra khi $(a,b,c)=(0,2,\sqrt{2})$ và hoán vị
Xét biểu thức \(\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}\)
\(=\frac{\left(a+2\right)\left(b+2\right)+\left(b+2\right)\left(c+2\right)+\left(c+2\right)\left(a+2\right)}{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}\)
\(=\frac{\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+12}{abc+2\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+8}\)
\(=\frac{\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+12}{\left(abc+ab+bc+ca\right)+\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+8}\)
\(=\frac{\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+12}{4+\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+8}\)(Do \(ab+bc+ca+abc=4\)theo giả thiết)
\(=\frac{\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+12}{\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+12}=1\)(***)
Với x,y dương ta có 2 bất đẳng thức phụ sau:
\(2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\)(*)
\(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)(**)
Áp dụng (*) và (**), ta có:
\(\frac{1}{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}+4}\le\frac{1}{a+b+4}=\frac{1}{\left(a+2\right)+\left(b+2\right)}\)
\(\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}\right)\)(1)
Tương tự ta có: \(\frac{1}{\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)}+4}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}\right)\)(2)
\(\frac{1}{\sqrt{2\left(c^2+a^2\right)}+4}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{c+2}+\frac{1}{a+2}\right)\)(3)
Cộng từng vế của các bất đẳng thức (1), (2), (3), ta được:
\(P\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}\right)=\frac{1}{2}\)(theo (***))
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)
\(a\sqrt{4-b^2}+b\sqrt{4-a^2}=4\)
\(\Leftrightarrow a\sqrt{4-b^2}=4-b\sqrt{4-a^2}\)
\(\Leftrightarrow\left(a\sqrt{4-b^2}\right)^2=\left(4-b\sqrt{4-a^2}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2b\sqrt{4-a^2}=b^2+4-a^2\)
\(\Leftrightarrow\left(2b\sqrt{4-a^2}\right)^2=\left(b^2+4-a^2\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+16+2a^2b^2-8a^2-8b^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2-4\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2=4\)