K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
IL
2
27 tháng 6 2018
\(x^2=a^2+b^2+ab\)
\(\Leftrightarrow x^4=a^4+b^4+3a^2b^2+2a^3b+2ab^3\)
\(\Leftrightarrow2x^4=2a^4+2b^4+6a^2b^2+4a^3b+4ab^3\)
\(\Leftrightarrow2x^4=a^4+b^4+\left(a^2\right)^2+\left(b^2\right)^2+\left(2ab\right)^2+2a^2b^2+4a^3b+4ab^3\)
\(\Leftrightarrow2x^4=a^4+b^4+\left(a^2+2ab+b^2\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2x^4=a^4+b^4+\left[\left(a+b\right)^2\right]^2\)
\(\Leftrightarrow2x^4=a^4+b^4+\left(a+b\right)^4\)
\(\Leftrightarrow2x^4=a^4+b^4+c^4\)(đpcm)
B
10 tháng 9 2020
Bài làm :
Ta có :
\(x^2=a^2+b^2+ab\)
\(\Leftrightarrow x^4=a^4+b^4+3a^2b^2+2a^3b+2ab^3\)
\(\Leftrightarrow2x^4=2a^4+2b^4+6a^2b^2+4a^3b+4ab^3\)
\(\Leftrightarrow2x^4=a^4+b^4+\left(a^2\right)^2+\left(b^2\right)^2+\left(2ab\right)^2+2a^2b^2+4a^3b+4ab^3\)
\(\Leftrightarrow2x^4=a^4+b^4+\left(a^2+2ab+b^2\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2x^4=a^4+b^4+\left[\left(a+b\right)^2\right]^2\)
\(\Leftrightarrow2x^4=a^4+b^4+\left(a+b\right)^4\)
\(\Leftrightarrow2x^4=a^4+b^4+c^4\)
=> Điều phải chứng minh
N
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 5 2021
Ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}a^2+1\ge2a\\a^2b^2+4\ge4ab\\a^2b^2c^2+16\ge8abc\end{matrix}\right.\)
Nhân vế với vế:
\(\left(a^2+1\right)\left(a^2b^2+4\right)\left(a^2b^2c^2+16\right)\ge64a^3b^2c\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: \(\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=2\\c=2\end{matrix}\right.\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 5 2021
a.
\(\Leftrightarrow2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2\ge2abc\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2b^2-2a^2bc+c^2a^2\right)+\left(a^2b^2-2ab^2c+b^2c^2\right)+\left(b^2c^2-2abc^2+a^2c^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ab-ca\right)^2+\left(ab-bc\right)^2+\left(bc-ca\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT đã cho đúng
b.
\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)\ge3abc\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge abc\left(a+b+c\right)\) (đúng theo câu a đã chứng minh)
BT
1 tháng 9 2016
Giả sử: \(a^4\left(b-c\right)+b^4\left(c-a\right)=c^4\left(b-a\right)\)
\(\Leftrightarrow a^4\left(b-a+a-c\right)+b^4\left(c-a\right)-c^4\left(b-a\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a^4\left(b-a\right)+a^4\left(a-c\right)+b^4\left(c-a\right)-c^4\left(b-a\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(b-a\right)\left(a^4-c^4\right)+\left(a-c\right)\left(a^4-b^4\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(b-a\right)\left(a-c\right)\left(a+c\right)\left(a^2+c^2\right)+\left(a-c\right)\left(a-b\right)\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(b-a\right)\left(c-a\right)\left\{\left(a+c\right)\left(a^2+c^2\right)-\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)\right\}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+c\right)\left(a^2+c^2\right)-\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)=0\)( do a, b, c phân biệt).
\(\Leftrightarrow ac^2+a^2c+c^3-ab^2-a^2b-b^3=0\)
\(\Leftrightarrow a^2\left(c-b\right)+a\left(c^2-b^2\right)+\left(c^3-b^3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(c-b\right)\left(a^2+a\left(b+c\right)+b^2+bc+c^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(c-b\right)\left(a^2+2.a\frac{b+c}{2}+\frac{b^2+2bc+c^2}{4}+\frac{3b^2+2bc+3c^2}{4}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(c-b\right)\left(\left(a+\frac{b+c}{2}\right)^2+\frac{2b^2+3bc+2c^2}{4}\right)=0\)(*).
Do \(\left(a+\frac{b+c}{2}\right)^2\ge0,\frac{2b^2+3bc+2c^2}{4}>0\).
Nên (*) không thể xảy ra. Vậy điều giả sử sai, ta có đpcm.
1 tháng 9 2016
Đặt A = a4(b - c) + b4(c - a) + c4(a - b) = a4(b - a + a - c) + b4(c - a) + c4(a - b) = a4(b - a) + a4(a - c) + b4(c - a) + c4(a - b)
= (a - b)(c4 - a4) + (a - c)(a4 - b4) = (a - b)(c - a)(c + a)(c2 + a2) + (a - c)(a - b)(a + b)(a2 + b2)
= (a - b)(a - c)[(a + b)(a2 + b2) - (c + a)(c2 + a2)] = (a - b)(a - c)(a3 + ab2 + a2b + b3 - c3 - a2c - ac2 - a3)
= (a - b)(a - c)[a2(b - c) + a(b2 - c2) + (b3 - c3)] = (a - b)(a - c)(b - c)[a2 + a(b + c) + b2 + bc + c2]
= (a - b)(a - c)(b - c)\(\frac{a^2+2ab+b^2+a^2+2ac+c^2+b^2+2bc+c^2}{2}\)
=\(\frac{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)\left[\left(a+b\right)^2+\left(a+c\right)^2+\left(b+c\right)^2\right]}{2}\)
Vì a,b,c là 3 số phân biệt nên A khác 0 <=> a4(b - c) + b4(c - a)\(\ne-c^4\left(a-b\right)=c^4\left(b-a\right)\)
14 tháng 10 2020
1. Gọi ƯCLN (a,c) =k, ta có : a=ka1, c=kc1 và (a1,c1)=1
Thay vào ab=cd được ka1b=bc1d nên
a1b=c1d (1)
Ta có: a1b \(⋮\)c1 mà (a1,c1)=1 nên b\(⋮\)c1. Đặt b=c1m ( \(m\in N\)*) , thay vào (1) được a1c1m = c1d nên a1m=d
Do đó: \(a^5+b^5+c^5+d^5=k^5a_1^5+c_1^5m^5+k^5c_1^5+a_1^5m^5\)
\(=k^5\left(a_1^5+c_1^5\right)+m^5\left(a_1^5+c_1^5\right)=\left(a_1^5+c_1^5\right)\left(k^5+m^5\right)\)
Do a1, c1, k, m là các số nguyên dương nên \(a^5+b^5+c^5+d^5\)là hợp số (đpcm)
14 tháng 10 2020
2. Nhận xét: 1 số chính phương khi chia cho 3 chỉ có thể sư 0 hoặc 1.
Ta có \(a^2+b^2⋮3\). Xét các TH của tổng 2 số dư : 0+0, 0+1,1+1, chỉ có 0+0 \(⋮\)3.
Vậy \(a^2+b^2⋮3\)thì a và b \(⋮3\)
b) Nhận xét: 1 số chính phương khi chia cho 7 chỉ có thể dư 0,1,2,4 (thật vậy, xét a lần lượt bằng 7k, \(7k\pm1,7k\pm2,7k\pm3\)thì a2 chia cho 7 thứ tự dư 0,1,4,2)
Ta có: \(a^2+b^2⋮7\). Xét các TH của tổng 2 số dư : 0+0, 0+1, 0+2, 0+4 , 1+1, 1+2, 2+2, 1+4, 2+4, 4+4; chỉ có 0+0 \(⋮7\). Vậy......
24 tháng 9 2022
Bài 2:
\(A=\left(2ac-a^2-c^2+b^2\right)\left(2ac+a^2+c^2-b^2\right)\)
\(=\left[b^2-\left(a-c\right)^2\right]\left[\left(a+c\right)^2-b^2\right]\)
\(=\left(b-a+c\right)\left(b+a-c\right)\left(a+c-b\right)\left(a+c+b\right)\)>0
AH
Akai Haruma
Giáo viên
11 tháng 9 2021
Lời giải:
Đặt $\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=t$
$\Rightarrow x=at, y=bt, z=ct$
Khi đó:
$(x^2+y^2+z^2)(a^2+b^2+c^2)=(a^2t^2+b^2t^2+c^2t^2)(a^2+b^2+c^2)$
$=t^2(a^2+b^2+c^2)(a^2+b^2+c^2)$
$=t^2(a^2+b^2+c^2)^2=[t(a^2+b^2+c^2)]^2$
$=(at.a+bt.b+ct.c)^2=(xa+yb+zc)^2$
Ta có đpcm.
Mình cần gấp bn nào xong trước mình hs cho
Ta có: \(b< c\Rightarrow b-c< 0\)
Kết hợp với \(b+c< a+\)
\(\Rightarrow\left(b-c\right)+\left(b+c\right)< 0+\left(a+1\right)\)
\(\Rightarrow2b< a+1\)
Lại có: \(1< a\Rightarrow a+1< 2a\)
Suy ra \(2b< a+1< 2a\Rightarrow2b< 2a\)
\(\Rightarrow b< a\)(đpcm)