K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
D
1
31 tháng 3 2022
$\large A=\frac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}=2-\frac{3}{\sqrt{x}+1}$
Ta có: $\large \sqrt{x}+1\ge1\Leftrightarrow -\frac{3}{\sqrt{x}+1}\ge-3$
Do đó: $\large A \ge 2-3=-1$
Vậy $A_{min}=-1$
Dấu $"="$ xảy ra khi $x=0$
HL
0
MM
1
24 tháng 11 2021
Ta có x2+y2 / x-y = x2-2xy+y2+2xy / x-y
= (x-y)2+2xy / x-y
Mà xy = 1 => 2xy = 2. Thay vào, ta có
(x-y)2+2xy / x-y = (x-y)2+2 / x-y = (x-y)2 / x-y + 2 / x-y
= x-y + 2 / x-y
Áp dụng BĐT Cauchy, ta có
x-y + 2 / x-y ≥ 2.√(x-y).2 / x-y] = 2.√2 = (√2)3
Vậy Min A = (√2)3
PM
21 tháng 7 2018
# Bài 1
* Ta cm BĐT sau \(a^2+b^2\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}\) (1) bằng cách biến đổi tương đương
* Với \(x,y>0\) áp dụng (1) ta có
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{\left(\sqrt{x}\right)^2}+\dfrac{1}{\left(\sqrt{y}\right)^2}\ge\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}\right)^2\)
Mà \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\) \(\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}\right)^2\le1\) \(\Leftrightarrow\) \(0< \dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}\le1\) (I)
* Ta cm BĐT phụ \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\) với \(a,b>0\) (2)
Áp dụng (2) với x , y > 0 ta có
\(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}\ge\dfrac{4}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\) (II)
* Từ (I) và (II) \(\Rightarrow\) \(\dfrac{4}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\le1\)
\(\Leftrightarrow\) \(\sqrt{x}+\sqrt{y}\ge4\)
Dấu "=" xra khi \(x=y=4\)
Vậy min \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=4\) khi \(x=y=4\)
T
8 tháng 8 2021
Sử dụng bất đẳng thức Minkovski, ta có:
\(P = \sqrt {{{\left( {x + y + z} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)}^2}} \)
\( \ge \sqrt {\left[ {{{\left( {x + y + z} \right)}^2} + \frac{1}{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}} \right] + \frac{{80}}{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}} \)
\(\ge \sqrt{2+\dfrac{80}{1}} =\sqrt{82}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}.\)
Kết luận ...
8 tháng 8 2021
\(\sqrt{x^2+\dfrac{1}{x^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{82}}\sqrt{\left(1^2+9^2\right)\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)}\ge\dfrac{1}{\sqrt{82}}\left(x+\dfrac{9}{x}\right)\)
tương tự với \(\sqrt{y^2+\dfrac{1}{y^2}};\sqrt{z^2+\dfrac{1}{z^2}}\)
\(=>P\ge\dfrac{1}{\sqrt{81}}\left(x+\dfrac{9}{x}+y+\dfrac{9}{y}+z+\dfrac{9}{z}\right)\)
có \(x+\dfrac{9}{x}=x+\dfrac{1}{9x}+\dfrac{80}{9x}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{9}}+\dfrac{80}{9x}\)
tương tự với \(y+\dfrac{9}{y};z+\dfrac{9}{z}\)
\(=>P\ge\dfrac{1}{\sqrt{82}}\left[2\sqrt{\dfrac{1}{9}}.3+\dfrac{\left(\sqrt{80}+\sqrt{80}+\sqrt{80}\right)^2}{9\left(x+y+z\right)}\right]=\dfrac{1}{\sqrt{82}}.82=\sqrt{82}\)
dấu"=" xảy ra<=>x=y=z=1/3
TT
1
27 tháng 6 2017
\(P=\frac{1}{4x^2+1}+\frac{1}{4y^2+1}+\frac{2}{xy}\)
\(=\frac{1}{4x^2+1}+\frac{1}{4y^2+1}+\frac{\frac{64}{25}}{8xy}+\frac{42}{25xy}\)
\(\ge\frac{\left(1+1+\frac{8}{5}\right)^2}{4\left(x+y\right)^2+2}+\frac{42}{\frac{25\left(x+y\right)^2}{4}}=\frac{12}{5}\)
PT
0