K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

@Cool Kid:\(a^3+b^3+c^3+3abc\ge\Sigma ab\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\)\(\Leftrightarrow\Sigma\frac{1}{2}\left(a+b-c\right)\left(a-b\right)^2\ge\Sigma\frac{ab\left(a-b\right)^2}{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}+a+b}\)Hay một BĐT mạnh (và đẹp:v) hơn là: \(\Leftrightarrow\Sigma\frac{1}{2}\left(a+b-c\right)\left(a-b\right)^2\ge\Sigma\frac{ab\left(a-b\right)^2}{2\left(a+b\right)}\)Ta cần chứng...
Đọc tiếp

@Cool Kid:

\(a^3+b^3+c^3+3abc\ge\Sigma ab\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\)

\(\Leftrightarrow\Sigma\frac{1}{2}\left(a+b-c\right)\left(a-b\right)^2\ge\Sigma\frac{ab\left(a-b\right)^2}{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}+a+b}\)

Hay một BĐT mạnh (và đẹp:v) hơn là: 

\(\Leftrightarrow\Sigma\frac{1}{2}\left(a+b-c\right)\left(a-b\right)^2\ge\Sigma\frac{ab\left(a-b\right)^2}{2\left(a+b\right)}\)

Ta cần chứng minh: \(VT-VP=\Sigma\frac{\left(a+b-c\right)^2\left(a-b\right)^2}{2\left(a+b\right)}-\frac{\left(a-b\right)^2\left(b-c\right)^2\left(c-a\right)^2}{2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge0\)

Giả sử \(a\ge c\ge b\) và đặt \(a=b+u+v,c=b+v\)

Bất đẳng thức này đúng theo Cauchy-Schwawrz:

\(VT-VP\ge\frac{4\left(c+a-b\right)^2\left(c-a\right)^2}{4\left(a+b+c\right)}-\frac{\left(a-b\right)^2\left(b-c\right)^2\left(c-a\right)^2}{2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge0\)

Last inequality is: https://imgur.com/tRsHOfr (mình không gửi ảnh được nên gửi link vậy!)

Done!

0
26 tháng 5 2020

ai mà biết được???????????????

26 tháng 5 2020

Bn ko biết thì đừng có đăng linh tinh nhé hoktok 😋😋😋😋😋😋😋😋😋

22 tháng 4 2020

Cách 3 :

\(a+b+c\ge2+abc\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\ge6+3abc\)

Từ điều kiện ta có thể suy ra : \(a+b+c\ge3\)

Từ đó ta có : \(6\le\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)

Đến đây ta cần chứng minh :     \(\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\ge\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)+3abc\)

                                            \(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\ge9abc\)(Đây là hệ quả của Cô-si)

22 tháng 3 2020

Ta có: \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\ge3\sqrt[3]{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}\)

=> \(\hept{\begin{cases}a^2+b^2+c^2\ge3\\1\ge abc\end{cases}}\)

Có:  \(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)\ge3+6=9\)

=> \(a+b+c\ge3=2+1\ge2+abc\)

1 tháng 8 2020

Xét \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}-\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}=\frac{\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}=a-b\)

Tương tự, ta được: \(\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}-\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}=b-c\)\(\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}-\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}=c-a\)

Cộng theo vế của 3 đẳng thức trên, ta được: \(\left(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\right)\)\(-\left(\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\right)=0\)

\(\Rightarrow\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\)\(=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\)

Ta đi chứng minh BĐT phụ sau: \(a^2-ab+b^2\ge\frac{1}{3}\left(a^2+ab+b^2\right)\)(*)

Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\frac{2}{3}\left(a-b\right)^2\ge0\)*đúng*

\(\Rightarrow2LHS=\Sigma_{cyc}\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}=\Sigma_{cyc}\text{ }\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}\)\(\ge\Sigma_{cyc}\text{ }\frac{\frac{1}{3}\left(a+b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}=\frac{1}{3}\text{​​}\Sigma_{cyc}\left[\left(a+b\right)\right]=\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}\)

\(\Rightarrow LHS\ge\frac{a+b+c}{3}=RHS\)(Q.E.D)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c

P/S: Có thể dùng BĐT phụ ở câu 3a để chứng minhxD:

27 tháng 7 2020

1) ta chứng minh được \(\Sigma\frac{a^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}=\Sigma\frac{b^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\)

\(VT=\frac{1}{2}\Sigma\frac{a^4+b^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\ge\frac{1}{4}\Sigma\frac{a^2+b^2}{a+b}\ge\frac{1}{8}\Sigma\left(a+b\right)=\frac{a+b+c+d}{4}\)

bài 2 xem có ghi nhầm ko

NV
17 tháng 11 2019

Câu 1: \(P=\sum\frac{1}{\left(1+\frac{1}{x}\right)^2}\) đặt \(\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z}\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow abc=1\)

Nó chính là dòng 5 trở đi của bài 4 này, ko làm lại nữa nhé:

Câu hỏi của bach nhac lam - Toán lớp 9 | Học trực tuyến

Câu 2:

\(\frac{a^3}{\left(a^2+b^2+a^2\right)\left(a^2+a^2+c^2\right)}\le\frac{a^3}{\left(a^2+ab+ac\right)^2}=\frac{a}{\left(a+b+c\right)^2}\)

Tương tự, cộng lại và rút gọn sẽ có đpcm

17 tháng 11 2019

Vũ Minh Tuấn, Băng Băng 2k6, Phạm Lan Hương, Pumpkin Night, No choice teen, HISINOMA KINIMADO,

tth, Nguyễn Lê Phước Thịnh, Chu Tuấn Minh, Lê Thị Hồng Vân, @Trần Thanh Phương, @Nguyễn Việt Lâm,

@Akai Haruma

giúp e vs ạ! thanks trước