D
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
BT
0
NT
1
27 tháng 1 2020
Do \(a,b< 1\Rightarrow a^3< a^2< a< 1\)
\(b^3< b^2< b< 1\)
Ta có :
\(\left(1-a^2\right)\left(1-b\right)>0\)
\(\Rightarrow1+a^2b>a^2b\)
\(\Rightarrow1+a^2b>a^3+b^3\) hay \(a^3+b^3< 1+a^2b\)
Tương tự
\(b^3+c^3< 1+b^2c\)
\(c^3+a^3< 1+c^2a\)
\(\Rightarrow2a^3+2b^3+2c^3< 3+a^2b+b^2c+c^2a\)
N
2
4 tháng 12 2017
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(P=\sqrt{\dfrac{2a}{2b+2c-a}}+\sqrt{\dfrac{2b}{2c+2a-b}}+\sqrt{\dfrac{2c}{2a+2b-c}}\)
\(=\dfrac{\sqrt{6}a}{\sqrt{3a\left(2b+2c-a\right)}}+\dfrac{\sqrt{6}b}{\sqrt{3b\left(2c+2a-b\right)}}+\dfrac{\sqrt{6}c}{\sqrt{3c\left(2a+2b-c\right)}}\)
\(\ge\dfrac{\sqrt{6}a}{\dfrac{3a+2b+2c-a}{2}}+\dfrac{\sqrt{6}b}{\dfrac{3b+2c+2a-b}{2}}+\dfrac{\sqrt{6}c}{\dfrac{3c+2a+2b-c}{2}}\)
\(\ge\dfrac{\sqrt{6}a}{a+b+c}+\dfrac{\sqrt{6}b}{a+b+c}+\dfrac{\sqrt{6}c}{a+b+c}\)
\(=\dfrac{\sqrt{6}\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=\sqrt{6}\)
16 tháng 2 2018
Bao nhiêu công gõ bài xong rồi đi chơi, chơi về định gửi bài, chơi về bật máy lên gửi thì lỗi, may vãi
16 tháng 2 2018
Ta có:
\(\dfrac{a^2}{\left(2a+b\right)\left(2a+c\right)}=\dfrac{a^2}{2a\left(a+b+c\right)+2a^2+bc}\)
\(\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{a^2}{a\left(a+b+c\right)}+\dfrac{a^2}{a\left(a+b+c\right)}+\dfrac{a^2}{2a^2+bc}\right)\)
\(=\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{2a}{a+b+c}+\dfrac{a^2}{2a^2+bc}\right)\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế:
\(VT\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}+\dfrac{a^2}{2a^2+bc}+\dfrac{b^2}{2b^2+ac}+\dfrac{c^2}{2c^2+ab}\right)\)
\(=\dfrac{1}{9}\left(2+\dfrac{a^2}{2a^2+bc}+\dfrac{b^2}{2b^2+ac}+\dfrac{c^2}{2c^2+ab}\right)\)
Cần chứng minh \(\dfrac{1}{9}\left(2+\dfrac{a^2}{2a^2+bc}+\dfrac{b^2}{2b^2+ac}+\dfrac{c^2}{2c^2+ab}\right)\le\dfrac{1}{3}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{2a^2+bc}+\dfrac{b^2}{2b^2+ac}+\dfrac{c^2}{2c^2+ab}\le1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{bc}{bc+2a^2}+\dfrac{ca}{ca+2b^2}+\dfrac{ab}{ab+2c^2}\ge1\)
Cauchy-Schwarz: \(VT=\dfrac{bc}{bc+2a^2}+\dfrac{ca}{ca+2b^2}+\dfrac{ab}{ab+2c^2}\)
\(=\dfrac{b^2c^2}{b^2c^2+2a^2bc}+\dfrac{c^2a^2}{c^2a^2+2ab^2c}+\dfrac{a^2b^2}{a^2b^2+2abc^2}\)
\(\ge\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{\left(ab+bc+ca\right)^2}=1\) * Đúng*
Happy New Year (Lunar)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 11 2019
\(VT=\frac{b^2c^2}{b+c}+\frac{a^2c^2}{a+c}+\frac{a^2b^2}{a+b}\ge\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}\ge\frac{3abc\left(a+b+c\right)}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
\(0< a;b;c< 1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^3< a^2< a< 1\\b^3< b^2< b< 1\\c^3< c^2< c< 1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(1-a\right)\left(1-b^2\right)>0\Rightarrow1+ab^2>a+b^2>a^3+b^3\)
Tương tự: \(1+b^2c>b^3+c^3\); \(1+ca^2>a^3+c^3\)
Cộng vế với vế: \(3+a^2b+b^2c+c^2a>2a^3+2b^3+2c^3\)
Đẳng thức không xảy ra
Câu hỏi của dbrby - Toán lớp 10 | Học trực tuyến giúp em đi, khó quá:( pqr mãi ko ra:(