Question

[Diệu Anh]

Câu 1: Tìm cặp số tự nhiên x,y thỏa mãn 5xy+2x-5y=7

Câu 2: Cho A= 75. ( 4²⁰¹⁸+4²⁰¹⁷+.....+4²+5)+25

Tìm số dư khi chia a cho 4²⁰¹⁹

Câu 3: Cho A= (17ⁿ-1). (17ⁿ+1) 

Chứng minh rằng A chia hết cho 3

Answer 1

[Xyz OLM]

1) Ta có : 5xy + 2x - 5y = 7

=> x(5y - 2) - 5y + 2 = 7 + 2

=> x(5y - 2) - (5y - 2) = 9

=> (5y - 2)(x - 1) = 9

Với \(x;y\inℕ\Rightarrow\hept{\begin{cases}5y-2\inℕ^∗\\x-1\inℕ^∗\end{cases}}\)

=> có 9 = 3.3 = 1.9

Lập bảng xét các trường hợp 

x - 1	1	9	3
5y - 2	9	1	3
x	2	10	4(tm)
y	2,2	0,6	1(tm)

Vậy x = 4 ; y = 1

2) A = 75.(4²⁰¹⁸ + 4²⁰¹⁷ + .... + 4² + 4) + 25

Đặt B = 4²⁰¹⁸ + 4²⁰¹⁷ + .... + 4² + 4 

Khi đó A = 75B + 25 

<=> 4B = 4²⁰¹⁹ + 4²⁰¹⁸ + .... + 4³ + 4²

Lấy 4B trừ B cả 2 vế ta có : 

4B - B = ( 4²⁰¹⁹ + 4²⁰¹⁸ + .... + 4³ + 4²) - (4²⁰¹⁸ + 4²⁰¹⁷ + .... + 4² + 4) 

   3B = 4²⁰¹⁹ - 4

=> B = \(\frac{4^{2019}-4}{3}\)

=> A = \(75\frac{4^{2019}-4}{3}+25=25.\left(4^{2019}-4\right)+25=25\left(4^{2019}-3\right)=25.4^{2019}-75\)

Vì \(25.4^{2019}⋮4^{2019}\Rightarrow25.4^{2019}-75:4^{2019}\text{ dư 75 }\Rightarrow A:4^{2019}\text{ dư 75}\)

Vậy số dư khi A chia cho 4²⁰¹⁹ là 75