Question

[Cao Đỗ Thiên An]

Các số sau là số hữu tỉ hay vô tỉ? Hãy chứng minh khẳng định của mình:

a) \(\sqrt{6}\)

b)\(\sqrt{1+\sqrt{2}}\)

Answer 1

[Trần Bảo Như]

a, Giả sử \(\sqrt{6}\) là số hữu tỉ

\(\Rightarrow\) \(\sqrt{6}\)viết được dưới dạng phân số tối giản \(\frac{a}{b}\)\(\Rightarrow\) \(\sqrt{6}\)= \(\frac{a}{b}\)\(\Leftrightarrow\) (\(\sqrt{6}\))² = (\(\frac{a}{b}\))²  \(\Leftrightarrow\) a² = 6b² mà (a, b) = 1 \(\Rightarrow\) a² chia hết cho 6 mà (6, 1) = 1 \(\Rightarrow\) a chia hết cho 6 (1)

Đặt a = 6k \(\Rightarrow\) a² = 36k² và a = 6b² \(\Rightarrow\) 36k² = 6b² \(\Leftrightarrow\) b² = 6k² mà (6, 1) = 1 \(\Rightarrow\) b² chia hết cho 6 \(\Rightarrow\) b chia hết cho 6 (2)

Từ (1), (2) và \(\frac{a}{b}\)là phân số tối giản \(\Rightarrow\) Trái với giả thiết (a, b) = 1.

Vậy \(\sqrt{6}\)là số vô tỉ.

b, Giả sử \(\sqrt{1+\sqrt{2}}\)là số hữu tỉ, đặt \(\sqrt{1+\sqrt{2}}\)= a

Ta có: a² = (\(\sqrt{1+\sqrt{2}}\))² = 1 + \(\sqrt{2}\)\(\Leftrightarrow\) a² - 1 = \(\sqrt{2}\)

Ta có: a² - 1 là số hữu tỉ mà \(\sqrt{2}\)là số vô tỉ \(\Rightarrow\) vô lí

Vậy \(\sqrt{1+\sqrt{2}}\)là số vô tỉ