K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

1 tháng 11 2016

ngu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleungu ngườileuleuchó nguoaoachó nguoaoa​chó nguoaoa​chó nguoaoa​chó nguoaoa​chó nguoaoa​chó nguoaoa​chó nguoaoa​chó nguoaoa​chó nguoaoa​chó nguoaoa​chó nguoaoa​chó nguoaoa​chó nguoaoa​chó nguoaoa​chó nguoaoachó nguoaoa​chó nguoaoa​chó nguoaoa​chó nguoaoachó nguoaoa​chó nguoaoa​chó nguoaoa​chó nguoaoa​chó nguoaoachó nguoaoa​chó nguoaoa​chó nguoaoachó nguoaoa​chó nguoaoachó nguoaoa​chó nguoaoa​chó nguoaoa​chó nguoaoachó nguoaoa​chó nguoaoa​chó nguoaoa​chó nguoaoachó nguoaoa​chó nguoaoachó nguoaoa​chó nguoaoa​chó nguoaoachó nguoaoa​chó nguoaoachó nguoaoa​chó nguoaoachó nguoaoa​chó nguoaoachó nguoaoa​chó nguoaoachó nguoaoa​chó nguoaoachó nguoaoa​chó nguoaoa​chó nguoaoachó nguoaoa​chó nguoaoa​chó nguoaoa​chó nguoaoachó nguoaoa​chó nguoaoa​chó nguoaoachó nguoaoa​chó nguoaoachó nguoaoa​chó nguoaoa​chó nguoaoachó nguoaoa​chó nguoaoachó nguoaoa​chó nguoaoachó nguoaoa​chó nguoaoachó nguoaoa​chó nguoaoa​chó nguoaoachó nguoaoa​chó nguoaoa

4 tháng 11 2016

im mồm hiu

NV
22 tháng 3 2021

\(VT=\dfrac{x^2}{x^2+2xy+3zx}+\dfrac{y^2}{y^2+2yz+3xy}+\dfrac{z^2}{z^2+2zx+3yz}\)

\(VT\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+5xy+5yz+5zx}=\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+3\left(xy+yz+zx\right)}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+\left(x+y+z\right)^2}=\dfrac{1}{2}\)

3 tháng 5 2018

\(A=\frac{x^3}{y+2z}+\frac{y^3}{z+2x}+\frac{z^3}{x+2y}\)

\(=\frac{x^4}{xy+2zx}+\frac{y^4}{yz+2xy}+\frac{z^4}{zx+2yz}\)

\(\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{x^2+y^2+z^2}{3}=\frac{1}{3}\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
7 tháng 9

Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

$\frac{x^3}{(y+2z)^2}+\frac{y+2z}{27}+\frac{y+2z}{27}\geq 3\sqrt[3]{\frac{x^3}{(y+2z)^2}.\frac{y+2z}{27}.\frac{y+2z}{27}}=\frac{x}{3}$

$\frac{y^3}{(z+2x)^2}+\frac{z+2x}{27}+\frac{z+2x}{27}\geq \frac{y}{3}$

$\frac{z^3}{(x+2y)^2}+\frac{x+2y}{27}+\frac{x+2y}{27}\geq \frac{z}{3}$

Cộng theo vế các BĐT trên và thu gọn thì:
$\sum \frac{x^3}{(y+2z)^2}+\frac{x+y+z}{9}\geq \frac{x+y+z}{3}$

$\Rightarrow \sum \frac{x^3}{(y+2z)^2}\geq \frac{2}{9}(x+y+z)$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z$

NV
4 tháng 5 2020

\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)

Hoặc:

\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^2\left(y+z\right)}{4\left(y+z\right)}}=x\)

\(\frac{y^2}{x+z}+\frac{x+z}{4}\ge y\) ; \(\frac{z^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\ge z\)

Cộng vế với vế ta có đpcm

14 tháng 5 2018

Ta có: \(\frac{x^3}{y+2z}+\frac{y^3}{z+2x}+\frac{z^3}{x+2y}=\frac{x^4}{xy+2xz}+\frac{y^4}{yz+2yx}+\frac{z^4}{zx+2zy}\)

Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz, ta có:

\(=\frac{x^4}{xy+2xz}+\frac{y^4}{yz+2yx}+\frac{z^4}{zx+2zy}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}=\frac{1}{3}\)

=> ĐPCM

Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

13 tháng 5 2020

Áp dụng BĐT Cosi cho 2 số dương, ta có:

\(\frac{9x^3}{y+2z}+x\left(y+2z\right)\ge6x^2;\frac{9y^3}{z+2x}+y\left(z+2x\right)\ge6y^2;\frac{9z^3}{x+2y}+z\left(x+2y\right)\ge6z^3\)

Lại có \(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)

Do đó \(\frac{9x^3}{y+2z}+\frac{9y^3}{z+2x}+\frac{9z^3}{x+2y}+3\left(xy+yz+zx\right)\ge6\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{9x^3}{y+2z}+\frac{9y^3}{z+2x}+\frac{9z^3}{x+2y}\ge6\left(x^2+y^2+z^2\right)-3\left(xy+yz+zx\right)\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^3}{y+2z}+\frac{y^3}{z+2x}+\frac{z^3}{x+2y}\ge\frac{x^2+y^2+z^2}{3}=\frac{1}{3}\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)