Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Xét khai triển:
\(\left(1+x\right)^n=C_n^0+C_n^1x+...+C_n^nx^n\)
Cho \(x=1\) ta được:
\(C_n^0+C_n^1+...+C_n^n=2^n\)
Bài này chỉ cần thay \(n=15\)
Lời giải:
Ta sẽ đi CM đẳng thức tổng quát:
\((C^1_{2n})^2-(C^2_{2n})^2+(C^3_{2n})^2-....+(C^{2n-1}_{2n})^2-(C^{2n}_{2n})^2=C^n_{2n}+1\) với $n$ lẻ.
Theo nhị thức Newton ta có:
\((x^2-1)^{2n}=C^0_{2n}-C^1_{2n}x^2+C^2_{2n}x^4-....-C^n_{2n}x^{2n}+...+C^{2n}_{2n}x^{4n}\). Trong này, hệ số của $x^{2n}$ là $-C^n_{2n}$
Tiếp tục sử dụng nhị thức Newton:
\((x^2-1)^{2n}=(x+1)^{2n}(x-1)^{2n}=(C^0_{2n}+C^1_{2n}+C^2_{2n}x^2+...+C^{2n}_{2n}x^{2n})(C^0_{2n}x^{2n}-C^1_{2n}x^{2n-1}+C^2_{2n}x^{2n-2}-...+C^{2n}_{2n})\). Trong này, hệ số của $x^{2n}$ là
\((C^0_{2n})^2-(C^1_{2n})^2+(C^2_{2n})^2-.....+(C^{2n}_{2n})^2\)
Do đó:
\(-C^n_{2n}=(C^0_{2n})^2-(C^1_{2n})^2+(C^2_{2n})^2-.....+(C^{2n}_{2n})^2\)
\(\Leftrightarrow -C^n_{2n}=1-(C^1_{2n})^2+(C^2_{2n})^2-.....+(C^{2n}_{2n})^2\)
\(\Leftrightarrow (C^1_{2n})^2-(C^2_{2n})^2+...-(C^2_{2n})^2=1+C^n_{2n}\)
Thay $n=1011$ ta có đpcm.
\(S=C_{100}^1-C_{100}^2+...-C_{100}^{100}\)
Ta có:
\(\Rightarrow S_1=C_{100}^0-C_{100}^1+C_{100}^2+...+C_{100}^{100}=0\)
\(\Rightarrow C_{100}^0=C_{100}^1-C_{100}^2+...-C_{100}^{100}=1\)(chuyển vế)
Vậy \(S=1\)
Câu 2:
\(\left\{{}\begin{matrix}u_1+u_5-u_3=10\\u_1+u_6=17\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}u_1+u_1+4d-u_1-2d=10\\u_1+u_1+5d=17\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}u_1+2d=10\\2u_1+5d=17\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}2u_1+4d=20\\2u_1+5d=17\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2u_1+4d-2u_1-5d=20-17\\2u_1+5d=17\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}-d=3\\2u_1+5d=17\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}d=-3\\2u_1=17-5d=17+5\cdot3=32\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}u_1=16\\d=-3\end{matrix}\right.\)
Câu 1:
Để a,b,c lập thành cấp số cộng thì
\(\left[{}\begin{matrix}a+c=2b\\a+b=2c\\b+c=2a\end{matrix}\right.\)
=>\(\left[{}\begin{matrix}x+1+x^2-1=2\cdot\left(3x-2\right)\\x+1+3x-2=2\left(x^2-1\right)\\x^2-1+3x-2=2\left(x+1\right)\end{matrix}\right.\)
=>\(\left[{}\begin{matrix}x^2+x-6x+4=0\\2x^2-2=4x-1\\x^2+3x-3-2x-2=0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left[{}\begin{matrix}x^2-5x+4=0\\2x^2-4x-1=0\\x^2+x-5=0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left[{}\begin{matrix}\left(x-1\right)\left(x-4\right)=0\\2x^2-4x-1=0\\x^2+x-5=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x\in\left\{1;4\right\}\\x\in\left\{\dfrac{2+\sqrt{6}}{2};\dfrac{2-\sqrt{6}}{2}\right\}\\x\in\left\{\dfrac{-1+\sqrt{21}}{2};\dfrac{-1-\sqrt{21}}{2}\right\}\end{matrix}\right.\)