Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
đặt x2=t \(\Rightarrow\) x=\(\pm\) \(\sqrt{t}\) và \(dx=\pm d\sqrt{t}\)
ta có A=\(\int e^{x^2}dx=\pm\int e^td\left(\sqrt{t}\right)\)
theo phương pháp nguyên hàm từng phần ta có
A=\(\pm\left[e^t\sqrt{t}-e^t\int\sqrt{t}\right]\)
=\(\pm\left[e^t\sqrt{t}-\frac{3}{2}.e^t.\sqrt[3]{t^2}\right]\)+C
Thay t=x2 vào ta tìm được 2 họ nguyên hàm của \(e^{x^2}\)
Bài 1:
\(F'\left(x\right)=e^x+\left(x-1\right)e^x=xe^x=\frac{x}{e^x}.e^{2x}\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{x}{e^x}\)
Xét \(I=\int f'\left(x\right)e^{2x}dx\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=e^{2x}\\v=f'\left(x\right)dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=2e^{2x}dx\\v=f\left(x\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=f\left(x\right).e^{2x}+2\int f\left(x\right).e^{2x}dx=x.e^x+2\left(x-1\right)e^x+C=\left(3x-2\right)e^x+C\)
2.
Xét \(J=\int\limits^1_0xf\left(6x\right)dx\)
Đặt \(6x=t\Rightarrow dx=\frac{1}{6}dt\Rightarrow J=\frac{1}{36}\int\limits^6_0t.f\left(t\right)dt=\frac{1}{36}\int\limits^6_0x.f\left(x\right)dx=1\)
\(\Rightarrow I=\int\limits^6_0x.f\left(x\right)dx=36\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=f\left(x\right)\\dv=xdx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=f'\left(x\right)dx\\v=\frac{1}{2}x^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=\frac{1}{2}x^2f\left(x\right)|^6_0-\frac{1}{2}\int\limits^6_0x^2.f'\left(x\right)dx\)
\(\Leftrightarrow36=18-\frac{1}{2}\int\limits^6_0x^2f'\left(x\right)dx\)
\(\Rightarrow\int\limits^6_0x^2f'\left(x\right)dx=-36\)
\(\int e^x.\cos xdx\)
= \(\int\cos xd\left(e^x\right)\)
= ex . cos x - \(\int e^xd\left(\cos x\right)\)
= ex cos x + \(\int\sin x.e^xdx\)
= ex cos x + \(\int\sin xd\left(e^x\right)\)
= ex cos x + sin x . ex - \(\int e^xd\left(\sin x\right)\)
= ex ( cos x - sin x ) - \(\int e^x.\cos xdx\)
= \(\int e^x.\cos x=\dfrac{e^x\left(\cos x+\sin x\right)}{2}\)
Vậy a = b = \(\dfrac{1}{2}\)
Tìm tất cả các hàm số f: R -> R thoả mãn điều kiện: f((x - y)2) = x2 - 2yf(x) + ((f(y)2); ∀x, y ∈ R.
Gọi P(x,y) là phép thế của phương trình hàm đề bài.
P(x,x) cho ta: f(0)=x2-2xf(x)+f2(x). (Ở đây, f2(x) là f(x)f(x) chứ không phải là f(f(x))).
Đến đây cho x=0 ta suy ra: f(0)=f2(0). Ta được f(0)=0 hoặc f(0)=1.
Trường hợp 1: f(0)=0 suy ra: f2(x)-2xf(x)+x2=0 với mọi x thực. Suy ra: (f(x)-x)2=0 với mọi x nên f(x)=x với mọi x.
Thử lại thấy thỏa mãn.
Trường hợp 2: f(0)=1 tương tự trường hợp 1, ta suy ra với mọi x thì f(x)=x-1 hoặc f(x)=x+1.
P(x,0) suy ra: f(x2)=x2+1. Do đó với mọi x không âm thì f(x)=x+1.
P(0,y) suy ra: f(y2)=f2(y)-2y suy ra: (y+1)2=f2(y) với mọi y thực.
Nếu tồn tại a thực khác 0 sao cho: f(a)=a-1. Thay y=a ta được: (a+1)2=f2(a)=(a-1)2 suy ra:
a2+2a+1=a2-2a+1 suy ra: a=0(vô lí). Do đó: f(x)=x+1 với mọi x thực.
Thử lại không thỏa mãn. Vậy f(x)=x với mọi x.
Có 2 cách làm, tính đạo hàm của \(F'\left(x\right)\) và đồng nhất hệ số với \(f\left(x\right)\), hoặc tính nguyên hàm của \(f\left(x\right)\) và đồng nhất hệ số với \(F\left(x\right)\), nhưng rõ ràng là tính đạo hàm dễ hơn tính nguyên hàm nhiều lần
\(F'\left(x\right)=\left(2ax+b\right)\sqrt{2x-3}+\frac{\left(ax^2+bx+c\right)}{\sqrt{2x-3}}\)
\(=\frac{\left(2ax+b\right)\left(2x-3\right)+ax^2+bx+c}{\sqrt{2x-3}}=\frac{5ax^2+\left(3b-6a\right)x+c-3b}{\sqrt{2x-3}}\)
Đồng nhất hệ số với \(f\left(x\right)\) ta được:
\(\left\{{}\begin{matrix}5a=20\\3b-6a=-30\\c-3b=7\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=4\\b=-2\\c=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow S=3\)
\(\int\frac{2^{x-1}}{e^x}dx=\frac{1}{2}\int\left(\frac{2}{e}\right)^xdx=\frac{1}{2}.\frac{\left(\frac{2}{e}\right)^x}{ln\left(\frac{2}{e}\right)}+C=\frac{2^x}{2e^x\left(ln2-1\right)}+C\)
\(F\left(x\right)=\left(ax^2+bx+c\right)e^x\)
\(\Rightarrow F'\left(x\right)=\left(2ax+b\right)e^x+e^x\left(ax^2+bx+c\right)=e^x\left(ax^2+\left(2a+b\right)x+b+c\right)\)
Mà \(f\left(x\right)=\left(x^2-2x+1\right)e^x\)
Đồng nhất hệ số ta được:
\(\left\{{}\begin{matrix}a=1\\2a+b=-2\\b+c=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=-4\\c=5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow S=-2\)