Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có :
\(\frac{a}{a+b+c}>\frac{a}{a+b+c+d}\)
\(\frac{b}{b+c+d}>\frac{b}{a+b+c+d}\)
\(\frac{c}{c+d+a}>\frac{c}{a+b+c+d}\)
\(\frac{d}{d+a+b}>\frac{d}{a+b+c+d}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}>\frac{a}{a+b+c+d}+\frac{b}{a+b+c+d}+\frac{c}{a+b+c+d}+\frac{d}{a+b+c+d}=1\)\(\Rightarrow A>1\)( 1 )
Lại có :
\(\frac{a}{a+b+c}< \frac{a+d}{a+b+c+d}\)
\(\frac{b}{b+c+d}< \frac{b+a}{a+b+c+d}\)
\(\frac{c}{c+d+a}< \frac{c+b}{a+b+c+d}\)
\(\frac{d}{d+a+b}< \frac{d+c}{a+b+c+d}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}< \frac{a+d}{a+b+c+d}+\frac{a+b}{a+b+c+d}+\frac{c+b}{a+b+c+d}+\frac{d+c}{a+b+c+d}=2\)
\(\Rightarrow A< 2\)( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) \(\Rightarrow\)A không phải là số tự nhiên ( vì 1 < A < 2 )
Ta thấy:
\(\frac{a+d}{a+b+c+d}>\frac{a}{a+b+c}>\frac{a}{a+b+c+d}\)
\(\frac{b+a}{a+b+c+d}>\frac{b}{b+c+d}>\frac{b}{a+b+c+d} \)
\(\frac{c+b}{a+b+c+d}>\frac{c}{c+d+a}>\frac{c}{a+b+c+d}\)
\(\frac{d+c}{a+b+c+d}>\frac{d}{d+a+b}>\frac{d}{a+b+c+d}\)
Do đó:
\(\frac{a+d}{a+b+c+d}+\frac{b+a}{a+b+c+d}+\frac{c+d}{a+b+c+d}+\frac{d+c}{a+b+c+d}>A\)
VÀ \(A>\)\(\frac{a}{a+b+c+d}+\frac{b}{a+b+c+d}+\frac{c}{a+b+c+d}+\frac{d}{a+b+c+d}\)
\(\Rightarrow2>A>1\)
\(\Rightarrow\)A không là số tự nhiên với a,b,c,d > 0
Vậy A không là số tự nhiên với a,b,c,d > 0
Ta có : \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)
Nên \(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{a-b}{c-d}\)
Suy ra : \(\frac{a}{c}=\frac{a-b}{c-d}\)
Vậy : \(\frac{a-b}{a}=\frac{c-d}{c}\)
Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\)=>a=bk,c=dk
a,Ta có \(\frac{a-b}{a}-\frac{bk-b}{bk}=\frac{b\left(k-1\right)}{bk}\frac{k-1}{k}.1\)
Tương tự ta có \(\frac{c-d}{c}=\frac{k-1}{k}.2\)
Từ (1) và (2) suy ra đều phải chứng minh .
b,Ta có \(\frac{a+b}{c+d}=\frac{bk+b}{dk+d}=\frac{b\left(k+1\right)}{d\left(k+1\right)}=\frac{b}{d}.3\)
Tương tự ta có \(\frac{a-b}{c-b}=\frac{b}{d}.4\)
Từ (3) và (4) suy ra đều phải chứng minh
có a/b <c/d=>a.d<b.c
=>ad+ab<bc+ab(cộng 2 vế với ab)
=>a(b+d)<b(a+c)
=>a/b<a+c/b+d(đpcm)
__________________________________
li-ke cho mình nhé bnLưu Nhật Khánh Ly
Do a;b;c và d là các số tự nhiên >0 =>
a + b + c < a + b + c + d
a + b + d < a + b + c + d
a + c + d < a + b + c + d
b + c + d < a + b + c + d
=> a/(a + b + c) > a/(a + b + c + d) (1)
b/(a + b + d) > b/(a + b + c + d) (2)
c/(b + c + d) > c/(a + b + c + d) (3)
d/(a + c + d) > d/(a + b + c + d) (4)
Từ (1);(2);(3) và (4)
=> a/(a + b + c) + b/(a + b + d) + c/(b + c + d) + d/(a + c + d) > a/(a + b + c + d) + b/(a + b + c + d) + c/(a + b + c + d) + d/(a + b + c + d)
=> a/(a + b + c) + b/(a + b + d) + c/(b + c + d) + d/(a + c + d) > (a + b + c + d)/(a + b + c + d)
=> a/(a + b + c) + b/(a + b + d) + c/(b + c + d) + d/(a + c + d) > 1
=> B > 1 (*)
Ta có: (a + b + c)(a + d) - a(a + b + c + d)
= a² + ad + ab + bd + ac + cd - (a² + ab + ac + ad)
= a² + ad + ab + bd + ac + cd - a² - ab - ac - ad
= bd + cd
Do a;b;c và d là số tự nhiên >0
=> bd + cd > 0
=> (a + b + c)(a + d) - a(a + b + c + d) > 0
=> (a + b + c)(a + d) > a(a + b + c + d)
=> (a + d)/(a + b + c + d) > a/(a + b + c) (5)
Chứng minh tương tự ta được:
(b + c)/(a + b + c + d) > b/(a + b + d) (6)
(a + c)/(a + b + c + d) > c/(b + c + d) (7)
(b + d)/(a + b + c + d) > d/(a + c + d) (8)
Cộng vế với vế của (5);(6);(7) và (8) ta được:
(a + d)/(a + b + c + d) + (b + c)/(a + b + c + d) + (a + c)/(a + b + c + d) + (b + d)/(a + b + c + d) > a/(a + b + c) + b/(a + b + d) + c/(b + c + d) + d/(a + c + d)
=> (a + d + b + c + a + c + b + d)/(a + b + c + d) > B
=> 2(a + b + c + d)/(a + b + c + d) > B
=> 2 > B (*)(*)
Từ (*) và (*)(*)
=> 1 < B < 2
=> B không phải là số tự nhiên
A = a/a+b+c + b/a+b+d + c/b+c+d + d/a+c+d
A > a/a+b+c+d + b/a+b+c+d + c/a+b+c+d + d/a+b+c+d
A > a+b+c+d/a+b+c+d
A > 1 (1)
Áp dụng a/b < 1 => a/b < a+m/b+m (a,b,m thuộc N*)
A = a/a+b+c + b/a+b+d + c/b+c+d + d/a+c+d
A < a+d/a+b+c+d + b+c/a+b+c+d + a+c/a+b+c+d + d+b/a+b+c+d
A < 2.(a+b+c+d)/a+b+c+d
A < 2 (2)
Từ (1) và (2) => 1 < A < 2
=> A không phải số nguyên ( đpcm)
\(\left(a+b\right)\left(d+a\right)=\left(c+d\right)\left(b+c\right)\)
\(ad+a^2+bd+ab=bc+bd+c^2+cd\)
\(a\left(b+d\right)+a^2=c\left(b+d\right)+c^2\)
\(a+a^2=c+c^2\)
\(a=c\)
Đặt \(A=\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+d}+\frac{c}{a+c+d}+\frac{d}{a+c+d}\), ta có:
\(\frac{a}{a+b+c+d}< \frac{a}{a+b+c}< \frac{a}{a+b}\)
\(\frac{b}{a+b+c+d}< \frac{b}{a+b+c}< \frac{b}{a+b}\)
\(\frac{c}{a+b+c+d}< \frac{c}{a+b+c}< \frac{c}{a+b}\)
\(\frac{d}{a+b+c+d}< \frac{d}{a+b+c}< \frac{d}{a+b}\)
Cộng lần lượt các vế biểu thức trên, ta được:
\(\frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}< A< \frac{a+b}{a+b}+\frac{c+d}{c+d}\)
\(\Rightarrow1< A< 2\)
Mà \(1,2\)là số nguyên liên tiếp nên \(A\notinℤ\), vậy biểu thức được chứng minh.