HP
5
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
HP
2
24 tháng 8 2016
\(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\)
\(\Leftrightarrow\left(\left|a\right|+\left|b\right|\right)^2\ge\left(\left|a+b\right|\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+2\left|ab\right|\ge a^2+b^2+2ab\)
Do bất đẳng thức cuối đúng nên bất đẳng thức ban đầu đúng (cũng có thể viết ngược từ dưới lên trên để chứng minh)
Dấu " = " xảy ra khi \(\left|ab\right|=ab\Leftrightarrow ab\ge0\)
NB
0
L
Cho a, b là 2 số dương. Chứng minh rằng: \(a^4+b^4\ge a^3b+ab^3\). Dấu của đẳng thức xảy ra khi nào?
0
NN
Nguyễn Ngọc Anh Minh
CTVHS
VIP
20 tháng 6 2015
\(VT-VP=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{4}{a+b}=\frac{b\left(a+b\right)+a\left(a+b\right)-4ab}{ab\left(a+b\right)}\)
\(=\frac{ab+b^2+a^2+ab-4ab}{ab\left(a+b\right)}=\frac{\left(a-b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\)
Do a,b>0 nên ab(a+b)>0 và (a-b)2 >=0
=> VT-VP>=0 nên \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\left(dpcm\right)\)
Dấu đẳng thức xảy ra khi VT-VP=0 tức là (a-b)2 =0 => a=b
20 tháng 3 2023
3.1
Xét hiệu :
\(\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2-ab=\dfrac{a^2+2ab+b^2}{4}-\dfrac{4ab}{4}\)
\(=\dfrac{a^2-2ab+b^2}{4}=\dfrac{\left(a-b\right)^2}{4}\ge0\forall a,b\in R\)
Vậy \(\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\ge ab,\forall a,b\in R\)
Dấu bằng xảy ra : \(\Leftrightarrow a=b\)
3.2
Áp dụng kết quả của câu 3.1 vào câu 3.2 ta được:
\(\left(a+b+c\right)^2=[a+\left(b+c\right)]^2\ge4a\left(b+c\right)\)
Mà : \(a+b+c=1\left(gt\right)\)
nên : \(1\ge4a\left(b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow b+c\ge4a\left(b+c\right)^2\) ( vì a,b,c không âm nên b+c không âm )
Mà : \(\left(b+c\right)^2\ge4bc\Leftrightarrow\left(b-c\right)^2\ge0,\forall b,c\in N\)
\(\Rightarrow b+c\ge16abc\)
Dấu bằng xảy ra : \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b+c\\b=c\end{matrix}\right.\Leftrightarrow b=c=\dfrac{1}{4};a=\dfrac{1}{2}\)
KT
29 tháng 4 2018
C/m BĐT phụ: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) (*) (x,y dương)
Ta có: \(\left(x-y\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(x^2-2xy+y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(x^2+y^2\ge2xy\)
\(\Leftrightarrow\)\(x^2+2xy+y^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) (BĐT đã đc chứng minh)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y\)
ÁP dụng BĐT (*) ta có:
\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}\ge\frac{4}{p-a+p-b}=\frac{4}{2p-\left(a+b\right)}=\frac{4}{c}\) (1)
\(\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge\frac{4}{p-b+p-c}=\frac{4}{2p-\left(b+c\right)}=\frac{4}{a}\) (2)
\(\frac{1}{p-c}+\frac{1}{p-a}\ge\frac{4}{p-c+p-a}=\frac{4}{2p-\left(c+a\right)}=\frac{4}{b}\) (3)
Lấy (1); (2); (3) cộng theo vế ta được:
\(2\left(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\right)\ge4\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c\)
Khi đó \(\Delta ABC\)là tam giác đều
PT
1
CM
27 tháng 6 2019
Ta có: a > 5 ⇒ -a < -5 ⇒ -5 > -a
Vậy các bất đẳng thức đều xảy ra.
\(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\Leftrightarrow\left(\left|a\right|+\left|b\right|\right)^2\ge\left(\left|a+b\right|\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+2\left|ab\right|\ge a^2+b^2+2ab\)
\(\Leftrightarrow\left|ab\right|\ge ab\)
Do bất đẳng thức cuối đúng nên bất đẳng thức ban đầu đúng (cũng có thể viết ngược từ dưới lên trên để chứng minh)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left|ab\right|=ab\Leftrightarrow ab\ge0\)
Bình phương hai vế của bất đẳng thức ta được: (a+b)2 \(\le\) (|a| + |b|)2
=> a2 + 2ab + b2 \(\le\) a2 + b2 + 2|ab| => ab \(\le\) |ab| . Điều này luôn đúng nên |a + b| \(\le\) |a| + |b| đúng
Dấu "=" xảy ra khi ab = |ab| <=> a.b \(\ge\) 0