Question

[Hoàng Tùng]

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi E,F lần lượt là hình chiếu vuông góc của điẻm H lên AB và AC

a, C/m AE.AB=AF.AC

b, C/m AE.EB+AF.FC=AH²

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét ΔAEH vuông tại E và ΔAHB vuông tại H có

\(\widehat{EAH}\) chung

Do đó: ΔAEH~ΔAHB

=>\(\dfrac{AE}{AH}=\dfrac{AH}{AB}\)

=>\(AH^2=AE\cdot AB\left(1\right)\)

Xét ΔAFH vuông tại F và ΔAHC vuông tại H có

\(\widehat{FAH}\) chung

Do đó: ΔAFH~ΔAHC

=>\(\dfrac{AF}{AH}=\dfrac{AH}{AC}\)

=>\(AH^2=AF\cdot AC\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(AE\cdot AB=AF\cdot AC\)

b: Xét tứ giác AEHF có \(\widehat{AEH}=\widehat{AFH}=\widehat{FAE}=90^0\)

nên AEHF là hình chữ nhật

=>\(HA^2=HE^2+HF^2\)

Xét ΔEHA vuông tại H và ΔEBH vuông tại E có

\(\widehat{EHA}=\widehat{EBH}\left(=90^0-\widehat{HAE}\right)\)

Do đó: ΔEHA~ΔEBH

=>\(\dfrac{EH}{EB}=\dfrac{EA}{EH}\)

=>\(EH^2=EA\cdot EB\)

Xét ΔFHA vuông tại F và ΔFCH vuông tại F có

\(\widehat{FHA}=\widehat{FCH}\left(=90^0-\widehat{HAC}\right)\)

Do đó: ΔFHA~ΔFCH

=>\(\dfrac{FH}{FC}=\dfrac{FA}{FH}\)

=>\(FH^2=FA\cdot FC\)

\(HA^2=HE^2+HF^2=EA\cdot EB+FA\cdot FC\)