Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ĐK x >= 0 ; y >=1 ; z >= 2
pt <=> \(2\sqrt{x}+2\sqrt{y-1}+2\sqrt{z-2}=x+y+z\)
=> \(x-2\sqrt{x}+1+y-1-2\sqrt{y-1}+1+z-2-2\sqrt{z-2}+1=0\)
=> \(\left(\sqrt{x}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{z-2}-1\right)^2=0\)
Bạn xem lại đề câu b và c nhé !
a) \(\sqrt{x^2+2x+4}\ge x-2\) \(\left(ĐK:x\ge2\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+2x+4>x^2-4x+4\)
\(\Leftrightarrow6x>0\Leftrightarrow x>0\) kết hợp với ĐKXĐ
\(\Rightarrow x\ge2\) thỏa mãn đề.
d) \(x+y+z+4=2\sqrt{x-2}+4\sqrt{y-3}+6\sqrt{z-5}\)
\(ĐKXĐ:x\ge2,y\ge3,z\ge5\)
Pt tương đương :
\(\left(x-2-2\sqrt{x-2}+1\right)+\left(y-3-4\sqrt{y-3}+4\right)+\left(z-5-6\sqrt{z-5}+9\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-2}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-3}-2\right)^2+\left(\sqrt{z-5}-3\right)^2=0\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x-2}=1\\\sqrt{y-3}=2\\\sqrt{z-5}=3\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=3\\y=7\\z=14\end{cases}}\) ( Thỏa mãn ĐKXĐ )
e) \(\sqrt{x}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-2}=\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\) (1)
\(ĐKXĐ:x\ge0,y\ge1,z\ge2\)
Phương trình (1) tương đương :
\(x+y+z-2\sqrt{x}-2\sqrt{y-1}-2\sqrt{z-2}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2\sqrt{x}+1\right)+\left(y-1-2\sqrt{y-1}+1\right)+\left(z-2-2\sqrt{z-2}+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{z-2}-1\right)^2=0\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x}=1\\\sqrt{y-1}=1\\\sqrt{z-2}=1\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=1\\y=2\\z=3\end{cases}}\)( Thỏa mãn ĐKXĐ )
\(a,\) Sửa đề: \(\sqrt{3x^2-12x+16}+\sqrt{y^2-4y+13}=5\)
Ta thấy \(3x^2-12x+16=3\left(x-2\right)^2+4\ge4\Leftrightarrow\sqrt{3x^2-12x+16}\ge\sqrt{4}=2\)
\(y^2-4y+13=\left(y-2\right)^2+9\ge9\Leftrightarrow\sqrt{y^2-4y+13}\ge\sqrt{9}=3\)
Cộng vế theo vế 2 BĐT trên:
\(\sqrt{3x^2-12x+16}+\sqrt{y^2-4y+13}\ge2+3=5\)
Dấu \("="\Leftrightarrow x=y=2\)
Vậy pt có nghiệm \(\left(x;y\right)=\left(2;2\right)\)
\(b,x+y+z+4=2\sqrt{x-2}+4\sqrt{y-3}+6\sqrt{z-5}\\ \Leftrightarrow x+y+z+4-2\sqrt{x-2}-4\sqrt{y-3}-6\sqrt{z-5}=0\\ \Leftrightarrow\left(x-2-2\sqrt{x-2}+1\right)+\left(y-3-4\sqrt{y-3}+4\right)+\left(z-5+6\sqrt{z-5}+9\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(\sqrt{x-2}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-3}-2\right)^2+\left(\sqrt{z-5}-3\right)^2=0\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x-2}-1=0\\\sqrt{y-3}-2=0\\\sqrt{z-5}-3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-2=1\\y-3=4\\z-5=9\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=7\\z=14\end{matrix}\right.\)
Lời giải:
ĐKXĐ: $x\geq 0; y\geq 1; z\geq 2$
PT \(\Leftrightarrow (x-2\sqrt{x}+1)+[(y-1)-4\sqrt{y-1}+4]+[(z-2)-6\sqrt{z-2}+9]=0\)
\(\Leftrightarrow (\sqrt{x}-1)^2+(\sqrt{y-1}-2)^2+(\sqrt{z-2}-3)^2=0\)
Vì \((\sqrt{x}-1)^2, (\sqrt{y-1}-2)^2, (\sqrt{z-2}-3)^2\geq 0\) nên để tổng của chúng bằng $0$ thì:
\((\sqrt{x}-1)^2=(\sqrt{y-1}-2)^2=(\sqrt{z-2}-3)^2=0\)
$\Leftrightarrow x=1; y=5; z=11$
Lời giải:
\((\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^2=5^2=25\)
\(\Rightarrow x+y+z+2(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz})=25\Rightarrow \sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}=\frac{25-9}{2}=8\)
\(\Rightarrow xy+yz+xz+2\sqrt{xyz}(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})=64\)
\(\Rightarrow xy+yz+xz+10\sqrt{xyz}=64\)
Thay vào PT(3):
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{3}{2}\Rightarrow \frac{xy+yz+xz}{xy}=\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{64-10\sqrt{xyz}}{xyz}=\frac{3}{2}\)
Đặt \(\sqrt{xyz}=t\Rightarrow \frac{64-10t}{t^2}=\frac{3}{2}\Rightarrow 3t^2+20t-128=0\)
\(\Rightarrow t=4\) (chọn) hoặc \(t=-\frac{32}{3}< 0\) (loại)
\(\Rightarrow \sqrt{xy}=\frac{4}{\sqrt{z}}\)
\(\Rightarrow 8=\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}=\frac{4}{\sqrt{z}}+\sqrt{z}(\sqrt{x}+\sqrt{y})=\frac{4}{\sqrt{z}}+\sqrt{z}(5-\sqrt{z})\)
Đặt \(\sqrt{z}=k\Rightarrow 8k=4+5k^2-k^3\)
\(\Rightarrow k^3-5k^2+8k-4=0\)
\(\Rightarrow k^2(k-1)-4(k^2-2k+1)=0\)
\(\Rightarrow (k-1)(k-2)^2=0\Rightarrow k=1; k=2\)
Nếu $k=1$ suy ra $z=1$. Thay vào giải hpt 2 ẩn ta thu được $x=y=4$
Nếu $k=2$ thì $z=4$. Thay vào giải hpt 2 ẩn ta thu được $(x,y)=(4,1)$ và hoán vị
Vậy $(x,y,z)=(4,4,1)$ và hoán vị của nó.
Điều kiện: \(x\ge2;y\ge-2024;z\ge2025\)
Ta có \(\sqrt{x-2}=\sqrt{1.\left(x-2\right)}\le\dfrac{1+x-2}{2}=\dfrac{x-1}{2}\) (bđt Cô-si)
\(\sqrt{y+2024}=\sqrt{1.\left(y+2024\right)}\le\dfrac{1+y+2024}{2}=\dfrac{y+2025}{2}\)
\(\sqrt{z-2025}=\sqrt{1.\left(z-2025\right)}\le\dfrac{1+z-2025}{2}=\dfrac{z-2024}{2}\)
Cộng theo vế 3 bđt trên, ta có:
\(VP=\sqrt{x-2}+\sqrt{y+2024}+\sqrt{z-2025}\)
\(\le\dfrac{x-1}{2}+\dfrac{y+2025}{2}+\dfrac{z-2024}{2}\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(x+y+z\right)=VP\)
Như vậy dấu "=" phải xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-2=1\\y+2024=1\\z-2025=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=-2023\\z=2026\end{matrix}\right.\) (nhận)
Vậy pt đã cho có nghiệm \(\left(x,y,z\right)=\left(3,-2023,2026\right)\)