Question

[Le Nhat Phuong]

Bài 2: chung minh rằng số P= x^5/120 + x^4/12 + 7x^3/24 + 5x^2/12 + x/5 luôn là 1 so tu nhien voi moi x thuoc N 

Answer 1

[Ben 10]

Ta có 
N=x^5/120+x^4/12+7x^3/24+5x^2/12+x/5 
N = ( x^5 + 10x^4 + 35x^3 + 50x^2 + 24x)/120 
N = x( x^4 + 10x^3 + 35x^2 + 50x + 24)/120 
N = x( x^4 + x^3 + 9x^3 + 9x^2 + 26x^2 + 26x + 24x + 24)/120 
N = x(x +1)(x^3 + 9x^2 + 26x + 24)/120 
N = x(x +1)(x^3+ 2x^2 + 7x^2 + 14x + 12x + 24)/120 
N = x(x+1)(x+2)(x^2 + 7x + 12)/120 
N = x(x +1)(x+2)(x+3)(x+4)/120 
N có tử số là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp 
-> N chia hết cho 5, 3 
trong 5 số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 4 và một số chia hết cho 2 
-> N chia hết cho 4x2 = 8 
Vậy N chia hết cho 3x5x8 = 120 
Vậy N luôn là số tự nhiên với mọi số tự nhiên x

Answer 2

[Le Nhat Phuong]

Ben xem thế này có đúng ko nha 

P = x^5/120 + x^4/12 + 7x³/24 + 5x²/12 + x/5 
= x(x^4/120 + x³/12 + 7x²/24 + 5x/12 + 1/5) 
= x(x^4 + 10x³ + 35x² + 50x + 24)/120 
Xét: x(x^4 + 10x³ + 35x² + 50x + 24) 
= x(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) 
-- 
Trước hết ta chứng minh x(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) chia hết cho 8 
* Nếu x chia hết cho 2 => x + 2 và x + 4 cũng chia hết cho 2 
=> x(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) chia hết cho 8 
* Nếu x lẻ => x = 2k + 1 
=> x + 1 = 2k + 2 và x + 3 = 2k + 4 
Dễ dàng chứng minh một trong hai số x + 1 và x + 3 có một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 4 
Thật vậy: 
► Nếu k lẻ thì 
x + 1 = 2k + 2 = 2(2m + 1) + 2 = 4m + 4 chia hết cho 4 
x + 3 = 2k + 4 = 2(2m + 1) + 4 = 4m + 6 chia hết cho 2 
=> x(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) chia hết cho 8 
► Nếu n chẵn thì: 
x + 1 = 2k + 2 = 4m + 2 chia hết cho 2 
x + 3 = 2k + 4 = 4m + 4 chia hết cho 4 
=> x(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) chia hết cho 8 
Tóm lại ta có 
x(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) chia hết cho 8 với mọi x là số tự nhiên (1) 
--- 
Mặt khác x(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) là tích 5 số tự nhiên liên tiếp nên tồn tại một số chia hết cho 3 và một số chia hết cho 5 
=> x(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 5 với mọi x là số tự nhiên (2) 
---- 
Từ (1) và (2) cho ta 
x(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 5, vừa chia hết cho 8 với mọi x là số tự nhiên 
mà (3 , 5, 8) là bộ 3 số nguyên tố cùng nhau 
=> x(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) chia hết cho tích 3.5.8 = 120 
Vậy P = x(x^4 + 10x³ + 35x² + 50x + 24)/120 là một số tự nhiên.