Question

[Nguyễn Văn Cường]

Bài 1 : 

B = 3 + 3^2 + 3^3 +.....+ 3^1991 . CMR B chia hết cho 13 , B chia hết cho 41

Answer 1

[fan FA]

 Ta đặt biểu thức trên là S 
Ta có S = 3 x (1 + 3^2 + 3^4 + 3^6 + ... + 3^1990) = 3 x P 
Chứng mình S chia hết cho 13 và 41 tương đưong với chứng mình P chia hết cho 13 và 41 

P có 996 số hạng 

Nhóm P thành từng bộ 3 số hạng 
P = 1 + 3^2 + 3^4 + 3^6 + ... + 3^1990 
= (1 + 3^2 + 3^4) + 3^6 x (1 + 3^2 + 3^4) + ... + 3^1986 x (1 + 3^2 + 3^4) 
= (1 + 3^2 + 3^4) x (1 + 3^6 + 3^12 + ... + 3^1986) 
= 91 x (1 + 3^6 + .... + 3^1986) 
Do 91 chia hết cho 13 nên P cũng chia hết cho 13 

Nhóm P thành từng bộ 4 số hạng và làm tương tự ta cũng có: 
P = (1 + 3^2 + 3^4 + 3^6) x (1 + 3^8 + 3^16 + ... + 3^1984) 
= 820 x (1 + 3^8 + 3^16 + ... + 3^1984) 
Do 820 chia hết cho 41 nên P cũng chia hết cho 41 

Answer 2

[OoO_Nhok_Lạnh_Lùng_OoO]

Ta có:

B= 3 + 3³ + 3⁵ + … + 3¹⁹⁹¹= (3 + 3³ + 3⁵) + (3⁷+ 3⁹ + 3¹¹ ) + … + (3¹⁹⁸⁷ + 3¹⁹⁸⁹ + 3¹⁹⁹¹).

= 3 x (1 + 3² + 3⁴) + 3⁷ x (1 + 3² + 3⁴) + … + 3¹⁹⁸⁷ x (1 + 3² + 3⁴).

= 3 x 91 + 3⁷ x 91 + … + 3¹⁹⁸⁷ x 91= 3 x 7 x 13 + 3⁷  x 7 x 13 + … + 3¹⁹⁸⁷ x 7 x 13.

= 13 x ( 3 x 7 + 3⁷ x 7 + … + 3¹⁹⁸⁷ x 7).

Vì B = 13 x ( 3 x 7 + 3⁷ x 7 + … + 3¹⁹⁸⁷ x 7) nên B chia hết cho 13.

B= (3 + 3³ + 3⁵ + 3⁷) +  … + (3¹⁹⁸⁵ + 3¹⁹⁸⁷ + 3¹⁹⁸⁹ + 3¹⁹⁹¹).

= 3 x (1 + 3² + 3⁴  + 3⁶) +  … + 3¹⁹⁸⁵ x (1 + 3² + 3⁴ ​+ 3⁶).

= 3 x 820 + … + 3¹⁹⁸⁵ x 820= 3 x 20 x 41 + … + 3¹⁹⁸⁵ x 20 x 41.

= 41 x ( 3 x 20 + .. +  3¹⁹⁸⁵ x 20)

Vì B =41 x ( 3 x 20 + .. +  3¹⁹⁸⁵ x 20) nên B chia hết cho 41