Question

[thlienminh 5a8]

2*x^(2)+3*x*y+y^(2)+5*x+3*y=15

Tìm nghiệm nguyên

Answer 1

[Lê Song Phương]

\(2x^2+3xy+y^2+5x+3y=15\)

\(\Leftrightarrow y^2+3\left(x+1\right)y+2x^2+5x-15=0\)

\(\Delta=\left[3\left(x+1\right)\right]^2-4\left(2x^2+5x-15\right)\)

\(=9x^2+18x+9-8x^2-20x+60\)

\(=x^2-2x+69=\left(x-1\right)^2+68\ge68>0\) nên pt (*) luôn có nghiệm thực.

Do đó \(y=\dfrac{-3\left(x+1\right)\pm\sqrt{x^2-2x+69}}{2}\)

Vì y là số nguyên nên \(x^2-2x+69\) là số chính phương. Đặt \(x^2-2x+69=k^2\)  \(\left(k\inℕ,k\ge9\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+68=k^2\)

\(\Leftrightarrow\left(k-x+1\right)\left(k+x-1\right)=68\)

Ta có bảng sau:

\(k-x+1\)	1	2	4	17	34	68	-1	-2	-4	-17	-34	-68
\(k+x-1\)	68	34	17	4	2	1	-68	-34	-17	-4	-2	-1
\(k\)	\(\dfrac{69}{2}\) (loại)	18	\(\dfrac{21}{2}\) (loại)	\(\dfrac{21}{2}\) (loại)	18	\(\dfrac{69}{2}\)(loại)	\(-\dfrac{69}{2}\)(loại)	-18	\(-\dfrac{21}{2}\)(loại)	\(-\dfrac{21}{2}\)(loại)	-18	\(-\dfrac{69}{2}\)(loại)
\(x\)		17			-15			-15			17
\(y\)		-18 hoặc -36			30 hoặc 12			tương tự TH thứ 5			tương tự TH thứ 2

Thử lại, ta thấy pt đã cho có các nghiệm nguyên sau:

 (17; -18), (17; -36), (15; 30), (15; 12)

Answer 2

[Lê Song Phương]

Chỗ KQ mình sửa lại thành dấu "-" như thế này nhé