Question

[Triều Nguyễn Quốc]

1.Cho tam giác ABC , điểm D nằm trên cạnh BC sao cho \(\frac{DB}{DC}=\frac{1}{2}\); điểm O nằm trên đoạn AD sao cho \(\frac{OA}{OD}=\frac{3}{2}\) . Gọi K là giao điểm của BO và AC . Tính tỷ số AK:AC.

2.Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn , trực tâm H . Một đường thẳng qua H cắt AB,AC theo thứ tự ở P và Q sao cho HP=HQ . Gọi M là trung điểm của BC . Chứng minh rằng tam giác MPQ cân tại M.

Answer 1

[Nguyễn Thành Trương]

Câu 1.

Qua $D$ vẽ đường thẳng song song với $OB$, cắt $AC$ tại $M$

Xét $\Delta ADM$ có $OK//DM$

$\Rightarrow \dfrac{AK}{KM}=\dfrac{OA}{OD}$ (định lí Ta-lét)

Nên $\dfrac{AK}{KM}=\dfrac{3}{2}$ (vì $\dfrac{OA}{OD}=\dfrac{3}{2}$)

Xét $\Delta BKC$ có $DM//BK$

$\Rightarrow \dfrac{KM}{CM}=\dfrac{DB}{DC}$ (định lí Ta-lét)

Nên $\dfrac{KM}{CM}=\dfrac{1}{2}$ (vì $\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{1}{2}$) $\Rightarrow \dfrac{KM}{KM+CM}=\dfrac{1}{1+2} \Rightarrow \dfrac{KM}{KC}=\dfrac{1}{3}$

Do đó $\dfrac{AK}{KC}=\dfrac{AK}{KM}.\dfrac{KM}{KC}=\dfrac{3}{2}.\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{2}$

Answer 2

[Nguyễn Thành Trương]

Hình vẽ câu 1 chỉ mang tính chất minh họa.