Question

[trần gia linh]

1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 +...+ 100^3

giúp mình với ạ

Answer 1

[Nguyễn Thị Thương Hoài]

    A = 1³ + 2³ + 3³ + 4³ +...+ 100³

   Ta có:   B = 1³ + 2³ + 3³ + 4³ +...+ n³ = ( 1 + 2 + 3 +...+n)²

   Thật vậy Với n = 1 ta có: B = 1³ = 1² (đúng)

 Giả sử B đúng với n = k tức là:1³ + 2³ + 3³ +....+k³ = (1+2+3 +...+k)²

Ta cần chứng minh B  đúng với n = k + 1. 

⇔1³ + 2³ + 3³ + ...+ k³ + (k+1)³ = (1+2+3+...+k+k+1)² 

Ta có:

B = 1³ + 2³ + 3³ +....+ k³ + (k+1)³

B = (1+2+3+...+k)² + (k + 1)³

B = {(k +1)k:2}² + (k+1)³ = (k+1)²{ \(\dfrac{k^2}{4}\) + k + 1} =(k+1)²(k²+4k+4)²: 4

B = (k+1)²(k²+2k + 2k + 4): 4 = (k+1)²{(k(k+2) + 2(k+2)}: 4

B = (k+1)²(k+2)²:4 = {(k+1)(k+2): 2}²

Mặt khác 1 + 2 + 3 + 4 +....+ k + k + 1 = (k+2)(k+1): 2

⇒B = (1+2+3+...+ k+1)² (đpcm)

Vậy 1³ + 2³ + 3³ + ...+n³ = (1+2+3+...+n)² 

Áp dụng công thức trên ta có:

A = 1³ + 2³ + 3³ +4³ +...+100³ = (1+2+3+4...+100)²

C = 1 + 2 + 3 + 4 +...+100

Dãy số trên là dãy số cách đều với khoảng cách là 2 - 1 = 1

Số số hạng của dãy số trên là: (100 -1):1 + 1 = 100

Tổng dãy số trên là: C = (100 +1)\(\times\) 100  : 2 = 5050

A = 5050²

Answer 2

[Nabi]

  A = 13 + 23 + 33 + 43 +...+ 1003

   Ta có:   B = 13 + 23 + 33 + 43 +...+ n3 = ( 1 + 2 + 3 +...+n)2

   Thật vậy Với n = 1 ta có: B = 13 = 12 (đúng)

 Giả sử B đúng với n = k tức là:13 + 23 + 33 +....+k3 = (1+2+3 +...+k)2

Ta cần chứng minh B  đúng với n = k + 1. 

⇔13 + 23 + 33 + ...+ k3 + (k+1)3 = (1+2+3+...+k+k+1)2 

Ta có:

B = 13 + 23 + 33 +....+ k3 + (k+1)3

B = (1+2+3+...+k)2 + (k + 1)3

B = {(k +1)k:2}2 + (k+1)3 = (k+1)2{ $\genfrac{}{}{0ex}{}{k^2}{4}$ + k + 1} =(k+1)2(k2+4k+4)2: 4

B = (k+1)2(k2+2k + 2k + 4): 4 = (k+1)2{(k(k+2) + 2(k+2)}: 4

B = (k+1)2(k+2)2:4 = {(k+1)(k+2): 2}2

Mặt khác 1 + 2 + 3 + 4 +....+ k + k + 1 = (k+2)(k+1): 2

⇒B = (1+2+3+...+ k+1)2 (đpcm)

Vậy 13 + 23 + 33 + ...+n3 = (1+2+3+...+n)2 

Áp dụng công thức trên ta có:

A = 13 + 23 + 33 +43 +...+1003 = (1+2+3+4...+100)2

C = 1 + 2 + 3 + 4 +...+100

Dãy số trên là dãy số cách đều với khoảng cách là 2 - 1 = 1

Số số hạng của dãy số trên là: (100 -1):1 + 1 = 100

Tổng dãy số trên là: C = (100 +1)$\times$ 100  : 2 = 5050

A = 50502

HT!