Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng BĐT cô si ta có:
\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\ge\frac{2}{\sqrt{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)}}\)
\(\sqrt{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)}\le\frac{a^2+1+b^2+1}{2}=\frac{a^2+b^2+2}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\ge\frac{4}{a^2+b^2+2}\left(1\right)\)
Ta thấy: \(\frac{4}{a^2+b^2+2}=1-\frac{a^2+b^2-2}{a^2+b^2+2}\left(2\right)\)
Ta có: \(a^2+b^2+2\ge2ab+2=2\left(ab+1\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2+b^2+2}\le\frac{1}{2\left(ab+1\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{-1}{a^2+b^2+2}\ge\frac{-1}{2\left(ab+1\right)}\)
Mà \(a^2+b^2-2\ge2\left(ab-1\right)\)
\(\Rightarrow1-\frac{a^2+b^2-2}{a^2+b^2+2}\ge1-\frac{2\left(ab-1\right)}{2\left(ab+1\right)}\)
\(=1-\frac{ab-1}{ab+1}=\frac{ab+1-ab+1}{ab+1}=\frac{2}{ab+1}\left(3\right)\)
Từ \(\left(1\right);\left(2\right)\) và \(\left(3\right)\) suy ra:
\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\ge\frac{2}{ab+1}\) (Đpcm)
ta có : \(\dfrac{1}{1+a^2}+\dfrac{1}{1+b^2}\ge\dfrac{2}{1+ab}\) \(\Leftrightarrow\left(\dfrac{1}{1+a^2}-\dfrac{1}{1+b^2}\right)+\left(\dfrac{1}{1+b^2}-\dfrac{1}{1+ab}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{ab-a^2}{\left(1+a^2\right)\left(1+ab\right)}+\dfrac{ab-b^2}{\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a\left(b-a\right)}{\left(1+a^2\right)\left(1+ab\right)}+\dfrac{b\left(a-b\right)}{\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(b-a\right)^2\left(ab-1\right)}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\ge0\)
bất đẳng thức này đúng vì ab\(\ge\) 1
