Question

[Trịnh Hoàng Đông Giang]

1. với p là số nguyên tố p>3 CMR: p² -1 chia het cho 24

2.CMR: a.3²ⁿ⁺¹ + 2²ⁿ⁺² chia het cho 7

           b. mn(m⁴-n⁴) chia hết cho 30

Answer 1

[Phước Nguyễn]

\(2b.\)  

Với mọi  \(m;n\in Z\), ta có:

\(mn\left(m^4-n^4\right)=mn\left[\left(m^4-1\right)-\left(n^4-1\right)\right]=mn\left(m^4-1\right)-mn\left(n^4-1\right)\)

\(\text{*)}\) Xét  \(mn\left(m^4-1\right)=mn\left(m^2-1\right)\left(m^2+1\right)\)

                                         \(=mn\left(m^2-1\right)\left[\left(m^2-4\right)+5\right]\)

                                         \(=mn\left(m^2-1\right)\left(m^2-4\right)+5mn\left(m^2-1\right)\)

             \(mn\left(m^4-1\right)=mn\left(m-1\right)\left(m+1\right)\left(m-2\right)\left(m+2\right)+5mn\left(m-1\right)\left(m+1\right)\)

Vì  \(m\left(m-1\right)\left(m+1\right)\left(m-2\right)\left(m+2\right)\)  là tích của  \(5\)  số nguyên liên tiếp nên \(m\left(m-1\right)\left(m+1\right)\left(m-2\right)\left(m+2\right)\)  chia hết cho  \(2;3\)  và  \(5\) 

Mà \(\left(2;3;5\right)=1\)  

Do đó,  \(m\left(m-1\right)\left(m+1\right)\left(m-2\right)\left(m+2\right)\)  chia hết cho  \(2.3.5=30\)  \(\left(1\right)\)

Mặt khác,  \(m\left(m-1\right)\left(m+1\right)\)  chia hết cho  \(6\)  (tích của  \(3\)  số nguyên liên tiếp)

         nên  \(5mn\left(m-1\right)\left(m+1\right)\)  chia hết cho  \(30\)  \(\left(2\right)\)

Từ  \(\left(1\right)\)  và  \(\left(2\right)\) , suy ra  \(mn\left(m^4-1\right)\)  chia hết cho  \(30\)  \(\left(\text{*}\right)\)

Tương tự, ta cũng chứng minh \(mn\left(n^4-1\right)\)  chia hết cho cho  \(30\)  \(\left(\text{**}\right)\)

Từ  \(\left(\text{*}\right)\)  và  \(\left(\text{**}\right)\)  suy ra  \(mn\left(m^4-n^4\right)\)  chia hết cho  \(30\)  với mọi  \(m;n\in Z\)

Answer 2

[Phước Nguyễn]

Đề câu  \(a.\)  sai rồi nha bạn! 

Ví dụ, với  \(n=2\)  thì  \(3^{2.2+1}+2^{2.2+2}=3^5+2^6=307\)  không chia hết cho  \(7\)  (vô lí)

Hiển nhiên, với công thức tổng quát  \(3^{2n+1}+2^{2n+2}\)  sẽ không chia hết cho  \(7\)  với \(n=2\)

                                                   \(-------------\)

\(a.\)  \(3^{2n+1}+2^{n+2}=3^{2n}.3+2^n.2^2\)  

                                   \(=9^n.3+2^n.4\)

                                   \(=9^n.3-2^n.3+2^n.3+2^n.4\)

                                  \(=3\left(9^n-2^n\right)+2^n\left(3+4\right)\)

                                  \(=3\left(9^n-2^n\right)+2^n\left(3+4\right)\)

                                  \(=3\left(9-2\right)\left(9^{n-1}+9^{n-2}.2+9^{n-3}.2^2+...+2^{n-1}\right)+7.2^n\)

     \(3^{2n+1}+2^{n+2}=3.7M+7.2^n\) 

Vì  \(3.7M\) chia hết cho  \(7\)  và  \(7.2^n\)  chia hết cho  \(7\)  nên  \(3.7M+7.2^n\)  chia hết cho  \(7\)

Vậy,  \(3^{2n+1}+2^{n+2}\)  chia hết cho  \(7\)