Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a, \(a^3+b^3+c^3=3abc\)
⇔\(a^3+b^3+c^3-3abc=0\)
⇔\(\left(a+b\right)^3+c^3-3abc-3a^2b-3ab^2=0\)
⇔\(\left(a+b+c\right)\left(\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2\right)-3ab\left(a+b+c\right)=0\)
⇔\(\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc-3ab\right)=0\)
⇔\(\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)=0\)
⇒\(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0\left(a+b+c\ne0\right)\)
⇔\(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0\)
⇔\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
⇔\(a=b=c\)
⇒\(=\frac{a^{2016}+a^{2016}+a^{2016}}{\left(a+a+a\right)^{2016}}=\frac{3a^{2016}}{3^{2016}\cdot a^{2016}}=\frac{1}{3^{2015}}\)
b/ \(n^2+4n+2013=k^2\) (\(k\in N\))
\(\Leftrightarrow\left(n+2\right)^2+2009=k^2\)
\(\Leftrightarrow k^2-\left(n+2\right)^2=2009\)
\(\Leftrightarrow\left(k-n-2\right)\left(k+n+2\right)=2009=1.2009=7.287=41.49\)
Do \(k-n-2< k+n+2\) nên ta chỉ cần xét 3 trường hợp:
\(\left\{{}\begin{matrix}k-n-2=1\\k+n+2=2009\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow2n+4=2008\Rightarrow n=1002\)
\(\left\{{}\begin{matrix}k-n-2=7\\k+n+2=287\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow n=138\)
\(\left\{{}\begin{matrix}k-n-2=41\\k+n+2=49\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow n=2\)
Vậy \(n=\left\{2;138;1002\right\}\)
\(n^3+100=n^2.\left(n+10\right)-10n^2+100\)
\(=n^2.\left(n+10\right)-10n.\left(n+10\right)+100n+100\)
\(=n^2.\left(n+10\right)-10n.\left(n+10\right)+100.\left(n+10\right)-900\)
\(=\left(n+10\right).\left(n^2-10n+100\right)-900\)
Để n3+100 chia hết cho n+10 => -900 chia hết cho n+10 => n+10 thuộc Ư(900)
Vì n lớn nhất => n+10 lớn nhất => n+10=900 => n=890
Vậy n=890
Xét a là một số tự nhiên bất kỳ. Dễ thấy, nếu a chia hết cho 3 => a3 chia hết cho 9 (1)
Xét: \(a\equiv1\left(mod9\right)\Rightarrow a^3\equiv1\left(mod9\right)\)(2)
\(a\equiv2\left(mod9\right)\Rightarrow a^3\equiv8\left(mod9\right)\)(3)
\(a\equiv4\left(mod9\right)\Rightarrow a^3\equiv64\equiv1\left(mod9\right)\)(4)
\(a\equiv5\left(mod9\right)\Rightarrow a^3\equiv125\equiv8\left(mod9\right)\)(5)
\(a\equiv7\left(mod9\right)\Rightarrow a^3\equiv343\equiv1\left(mod9\right)\)(6)
\(a\equiv8\left(mod9\right)\Rightarrow a^3\equiv512\equiv8\left(mod9\right)\)(7)
Từ (1),(2),(3),(4),(5),(6),(7) => lập phương của 1 số nguyên bất kỳ khi chia cho 9 có số dư là 0,1,8
Dễ thấy: để a3+b3+c3 chia hết cho 9 => 1 trong 3 số a,b,c hoặc cả 3 số a,b,c phải chia hết cho 3 =>
=> abc chia hết cho 3. Vậy a3+b3+c3 chia hết cho 9 thì abc chia hết cho 3
bài 4
a, x4+4y4
=x4+2.x2.2y2+4y4-2x2.2y2
=(x2+2y2)2-4x2y2
(HĐT số 1)
=(x2+2y2-2xy)(x2+2y2+2xy)
(HĐT số 3)
b, x(x+1)(x+2)(x+3)+1
=(x2+3x)(x2+3x+2)+1 (1)
Đặt x2+3x+1=a
( vì 1 là trung bình cộng của 2 và 0)
(1) = (a-1)(a+1)+1
=a2-1+1 =a2
(HĐT số 3)
=> (1) = (x2+3x+1)2
Bài 2:
\(\dfrac{1}{2-x}+\dfrac{x+10}{x^3-8}=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{-1}{x-2}+\dfrac{x+10}{\left(x-2\right)\left(x^2+2x+4\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow-x^2-2x-4+x+10=0\)
\(\Leftrightarrow-x^2-x+6=0\)
\(\Leftrightarrow x^2+x-6=0\)
=>(x+3)(x-2)=0
=>x=-3(nhận) hoặc x=2(loại)
Bài 1:
Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp đó lần lượt là a,a+1,a+2,a+3\(\left(a;a+1;a+2;a+3\in N\right)\)
Theo bài ra ta có:
\(a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\left(a+3\right)+1\)
\(=\left(a^2+3a\right)\left(a^2+3a+2\right)+1\)
Đặt \(a^2+3a+1=t\) khi đó ta có:
\(\left(t-1\right)\left(t+1\right)+1=t^2-1+1=t^2\)
Vậy \(t^2\) là số chính phương suy ra \(\left(a^2+3a+1\right)^2\) là số chính phương ta có điều phải chứng minh
bài 2: ý tưởng là thay vào
bài 3: gọi UCLN(...)=d
Xét hiệu...
\(^3+100⋮n+10\Leftrightarrow n^3+1000-900⋮n+10\Leftrightarrow\left(n+10\right)\left(n^2-10n+100\right)-900⋮n+10\Leftrightarrow900⋮n+10\Leftrightarrow n+10=900\left(\text{ vì n lon nhất}\right)\Leftrightarrow n=890\)