Question

[ngô boitran]

1) Chứng minh rằng trong một tứ diện bất kì , các đoạn thẳng nối trung điểm của các cạnh đối đồng qui tại trung điểm của chúng .(Điểm đồng qui đó được gọi là trọng tâm của tứ diện) 2) Cho tứ diện ABCD . Gọi A'B'C'D' lần lượt là các điểm chia các cạnh AB , BC , CD , DA theo tỉ số k (k khác 1) . Chứng minh rằng hai tứ diện ABCD và A'B'C'D' có cùng trọng tâm.

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

1) Bài toán trọng tâm của tứ diện:

Ta có NE,MF lần lượt là đường trung bình của \(\Delta ABC,\Delta ADC\), suy ra \(\hept{\begin{cases}NE=MF=\frac{AC}{2}\\NE||MF\end{cases}}\)

Suy ra tứ giác EMFN là hình bình hành. Do đó EF,MN cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn.

Tương tự MN,HK cũng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn.

Vậy EF,HK,MN đồng quy tại trung điểm G của chúng. G chính là trọng tâm của tứ diện ABCD.

*) Nhận xét: Ta dễ dàng chỉ ra:

i) AG,BG,CG,DG lần lượt đi qua trọng tâm G_A,G_B,G_C,G_D của các tam giác BCD,ACD,ABD,AB

ii) \(\frac{GA}{GG_A}=\frac{GB}{GG_B}=\frac{GC}{GG_C}=\frac{GD}{GG_D}=3\)

iii) \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}\)

2) Ta phát biểu bổ đề sau: Cho tam giác ABC, điểm M thuộc đường thẳng BC. Ta có \(\overrightarrow{AM}=\frac{\overline{BM}}{\overline{BC}}\overrightarrow{AC}+\frac{\overline{CM}}{\overline{CB}}\overrightarrow{AB}\)

Chứng minh: Lấy điểm N trên AB sao cho MN || AC, ta có:

\(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{NM}=\frac{\overline{AN}}{\overline{AB}}\overrightarrow{AB}+\frac{\overline{NM}}{\overline{AC}}\overrightarrow{AC}=\frac{\overline{CM}}{\overline{CB}}\overrightarrow{AB}+\frac{\overline{BM}}{\overline{BC}}\overrightarrow{AC}\)

Lời giải:

Gọi G và G' lần lượt là trọng tâm của tứ diện ABCD và A'B'C'D'.

Ta có: \(\overrightarrow{AG}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AG_A}=\frac{3}{4}.\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\right)=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}}{4}\left(1\right)\)

Mặt khác \(\frac{\overline{A'A}}{\overline{A'B}}=\frac{\overline{B'B}}{\overline{B'C}}=\frac{\overline{C'C}}{\overline{C'D}}=\frac{\overline{D'D}}{\overline{D'A}}=k\), suy ra:

\(\frac{\overline{AA'}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{BB'}}{\overline{BC}}=\frac{\overline{CC'}}{\overline{CD}}=\frac{k}{k-1};\frac{\overline{AD'}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{DC'}}{\overline{DC}}=\frac{\overline{CB'}}{\overline{CB}}=\frac{-1}{k-1}\)

Từ đó: \(\overrightarrow{AA'}=\frac{\overline{AA'}}{\overline{AB}}\overrightarrow{AB}=\frac{k}{k-1}\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD'}=\frac{-1}{k-1}\overrightarrow{AD}\)

\(\overrightarrow{AB'}=\frac{\overline{BB'}}{\overline{BC}}\overrightarrow{AC}+\frac{\overline{CB'}}{\overline{CB}}\overrightarrow{AB}=\frac{k}{k-1}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{k-1}\overrightarrow{AB}\)

\(\overrightarrow{AC'}=\frac{\overline{CC'}}{\overline{CD}}\overrightarrow{AD}+\frac{\overline{DC'}}{\overline{DC}}\overrightarrow{AC}=\frac{k}{k-1}\overrightarrow{AD}-\frac{1}{k-1}\overrightarrow{AC}\)

Suy ra \(\overrightarrow{AG'}=\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{AB'}+\overrightarrow{AC'}+\overrightarrow{AD'}+\overrightarrow{A'G'}+\overrightarrow{B'G'}+\overrightarrow{C'G'}+\overrightarrow{D'G'}\right)\)

\(=\frac{\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{AB'}+\overrightarrow{AC'}+\overrightarrow{AD'}}{4}\)

\(=\frac{1}{4}\left(\frac{k}{k-1}\overrightarrow{AB}+\frac{k}{k-1}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{k-1}\overrightarrow{AB}+\frac{k}{k-1}\overrightarrow{AD}-\frac{1}{k-1}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{k-1}\overrightarrow{AD}\right)\)

\(=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}}{4}\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AG'}\). Vậy G trùng G' hay hai tứ diện ABCD và A'B'C'D' có cùng trọng tâm.