Question

[Bạch An Nhiên]

1) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến
a) A = ( x-1)^3 - (x+4) ( x^2 - 4x + 16 ) + 3x(x-1)
b) B = ( x+y - 1)^3 - (x+y+1)^3 + 6(x+y)
2) Tìm GTNN của biểu thức
A = x^2 + 6x + 11
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
B = 4-x^2 - x

Answer 1

[Phương Trâm]

1.

a) \(A=\left(x-1\right)^3-\left(x+4\right)\left(x^2-4x+16\right)+3x\left(x-1\right)\)

\(A=\left(x^3-3x^2+3x-1\right)-\left(x^3+64\right)+\left(3x^2-3x\right)\)

\(A=x^3-3x^2+3x-1-x^3-64+3x^2-3x\)

\(A=\left(x^3-x^3\right)+\left(-3x^2+3x\right)+\left(3x-3x\right)+\left(-1-64\right)\)

\(A=-65\)

Vậy giá trị của biểu thức trên không phụ thuộc vào biến.

b) \(B=\left(x+y-1\right)^3-\left(x+y+1\right)^3+6\left(x+y\right)^2\)

\(B=\left[\left(x+y-1\right)-\left(x+y+1\right)\right].\left[\left(x+y-1\right)^2+\left(x+y-1\right).\left(x+y+1\right)+\left(x+y+1\right)^2\right]+6\left(x+y\right)^2\)

\(B=\left(x+y-1-x-y-1\right).\left[\left(x+y\right)^2-2\left(x+y\right).1+1+\left(x+y\right)^2-1+\left(x+y\right)^2+2\left(x+y\right).1+1\right]+6\left(x+y\right)^2\)

\(B=-2.\left(x^2+2xy+y^2-2x-2y+1+x^2+2xy+y^2-1+x^2+2xy+y^2+2x+2y+1\right)+6\left(x+y\right)^2\)

\(B=-2.\left(3x^2+6xy+3y^2+1\right)+6\left(x+y\right)^2\)

\(B=-2.\left(3x^2+6xy+3y^2\right)-2+6\left(x+y\right)^2\)

\(B=-6\left(x+y\right)^2+6\left(x+y\right)^2-2\)

\(B=-6\left[\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)^2\right]-2\)

\(B=-2\)

Vậy giá trị của biểu thức trên không phụ thuộc vào biến.

2. \(A=x^2+6x+11\)

\(A=x^2+2x.3+3^2+2\)

\(A=\left(x+3\right)^2+2\)

Ta có: \(\left(x+3\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow\left(x+3\right)^2+2\ge2\)

\(\Rightarrow Min_A=2\Leftrightarrow x=-3\)

\(B=4-x^2-x\)

\(B=-x^2-x+4\)

\(B=-x^2-x-\dfrac{1}{4}+\dfrac{17}{4}\)

\(B=-\left(x^2+2x.\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{17}{4}\)

\(B=-\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{17}{4}\)

Ta có: \(-\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2\le0\)

\(\Rightarrow-\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{17}{4}\le\dfrac{17}{4}\)

\(\Rightarrow Max_B=\dfrac{17}{4}\Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{2}\)

Answer 2

[Nguyễn Huy Đức]

i

111111	1111
111111	1111
111111	1111